线性规划在经济管理中的应用研究

【摘要】线性规划是运筹学中发展较快,方法较成熟的一个重要分支,已经被广泛的应用于工业、 农业、 交通运输、 商业、 国防、 邮电及经济管理等领域,帮助决策人员科学地制定方针和决策。本文主要阐述了线性规划的原理以及计算方法,并通过若干实际案例来说明如何应用
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  【摘要】线性规划是运筹学中发展较快,方法较成熟的一个重要分支,已经被广泛的应用于工业、 农业、 交通运输、 商业、 国防、 邮电及经济管理等领域,帮助决策人员科学地制定方针和决策。本文主要阐述了线性规划的原理以及计算方法,并通过若干实际案例来说明如何应用线性规划来解决经济管理中所遇到的问题。
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  【关键词】线性规划 经济管理
  【中图分类号】G64 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089(2013)11-0251-03
  线性规划是运筹学中发展最成熟,应用最广泛的一个重要分支。在1951年,美国经济学家库普曼斯首次将线性规划应用于经济领域,并以此与康托罗维奇一起获得了1957年的诺贝尔经济学奖[1]。从此,线性规划便被广泛的应用于经济领域,为人类进行经济管理和分析决策提供科学依据。
  1.线性规划简介
  1.1线性规划的基本思想
  线性规划的主要研究内容是求解线性目标函数在一定约束条件下的极值问题。而在经济管理领域,许多实际问题都能够转化为线性规划问题,求解线性规划问题的最优解就是得到这些实际问题的解,也就是指导经济生活的最佳方案。实际问题转化为线性规划问题的首要步骤就是建立线性规划数学模型。求解数学模型的过程即为解决实际问题得到最佳方案的过程。数学模型建立的一般步骤为:第一,列出约束条件及目标函数;第二,画出约束条件所表示的可行域;第三,在可行域内求目标函数的最优解及最优值[2]。线性规划问题的满足线性约束条件的解叫作可行解,由所有可行解组成的集合叫做可行域。决策变量、约束条件、目标函数是线性规划问题的三要素。其中决策变量对应实际问题中出现的未知因素。约束条件对应实际问题中的限制因素,而目标函数即为实际问题的数学表达形式。
  1.2线性规划的发展概况
  早在1823年,法国数学家傅里叶便提出了线性规划的概念,然而并未足够的引起重视。1911年,另一个法国数学家瓦莱有一次独立的提出了线性规划的想法,依然没有引起关注。直到1947年的夏天,美国数学家G.B.丹齐克提出了单纯形法从而为线性规划奠定了基础。
  50年代后线性规划取得了较大的进展,许多学者对其进行了大量的理论研究,并涌现出一大批新计算方法。例如,1954年C.莱姆基提出了对偶单纯形法,同年S.加斯和T.萨迪等人解决了线性规划的灵敏度分析和参数规划问题,1956年A.塔克提出互补松弛定理,1960年G.B.丹齐克和P.沃尔夫提出分解算法等。线性规划的研究成果还直接推动了其他数学规划问题包括整数规划、随机规划和非线性规划的算法研究。由于数字电子计算机的发展,出现了许多线性规划软件,如MPSX,OPHEIE,UMPIRE等,可以很方便地求解几千个变量的线性规划问题。随着线性规划算法以及电子计算机的出现,线性规划的应用领域随着逐步扩大。
  2.线性规划的数学模型建立和求解方法
  2.1 线性规划的数学模型
  线性规划的数学模型分为一般形式和标准形式两种,其一般形式表示如下:
  由于在实际应用过程当中,实际问题的复杂化,多样化都会导致建立数学模型时约束条件以及目标函数在内容和形式上的巨大差异,为了方便讨论以及规范计算方法,可以将一般形式转化为标准形式,转化过程必须掌握三个原则:目标最值化,约束等式化以及变量非负化[3]。转化之后的标准表示形式如下:
  其中算是(1)、(4)、(7)均为目标函数,而(2)、(3)、(4)、(6)、(8)为约束条件。
  2.2 线性规划的求解方法
  线性规划问题的求解方法多种多样,早在1947年,美国数学家G. B. Dantzig便提出了求解线性规划问题的单纯形方法,而这种方法也日益成熟,成为求解线性规划问题的通用方法。单纯形法的理论根据是:线性规划问题的可行域是 n维向量空间 Rn中的多面凸集, 其最优值如果存在必在该凸集的某顶点处达到。顶点所对应的可行解称为基本可行解[4-6]。其主要思想是先找到一个初始基本可行解,鉴别此初始基本可行解是否为最优解,如不是,则从此初始基本可行解出发,经过一定的转化法则求得一个使目标函数值有所改善的基本可行解,再进行鉴别,如仍不是最优解,继续进行转化和鉴别,通过不断改进基本可行解,力图得到最优基本可行解;由于基本可行解的个数有限,经过有限次转换必能得到一个最优解。然而单纯形法有一个弱点,那就是它们首先要找出一组基本可行解,再从这个基本可行解出发求改进的基本可行解,目前较常见的求初始基本可行解的方法有两种,一种是两阶段法;另外一种是大M法[7]。
  除却单纯形算法,另外一种方法也得到了广泛的应用,即Karmarkar算法。Karmarkar算法是由印度科学家Karmarkar于1984年提出,一经提出便引起了轰动。Karmarkar算法极大的提高了线性规划的求解时间,因此也被称为多项式时间算法。Karmarkar算法与单纯形算法的不同之处在于,两者的出发点不同,单纯形从边界出发,而Karmarkar算法从内部出发,并永不从边界走。
  3.线性规划在经济管理中的应用案例
  在经济管理中时常会遇到譬如如何获得最大产出率或者利润率的问题。如何解决这些问题都是在线性规划研发的范畴内。
  3.1 最大利润问题
  先假设某工厂需要在计划期内生产三种产品x1, x2, x3。这三种产品都分别需要使用四台设备进行加工,四台设备分别以A, B, C, D表示。 根据生产工艺,产品 x1、x2、x3各需要使用四台设备的加工台时数见下表(表1)。已知各设备在计划期内有效台时数分别是16 , 14 , 20 , 16。(一台设备工作一小时称为一台时),该工厂每生产一件x1产品可得利润 2万元,而每生产一件x2产品可得利润 3万元,每生产一件x3产品可获得利润1万元。问题是工场如何安排生产计划, 才能获得最大的利润?   表1 三种产品所需要的台时数
  第一步,建立模型。
  第二步,将其化为线性规划的标准形。
  引入松弛变量:
  x4―设备A的闲置台时数
  x5―设备B的闲置台时数
  x6―设备C的闲置台时数
  x7―设备D的闲置台时数
  标准型表示式为:
  3.2 投资收益率最大问题
  假设某人利用10万元现金进行投资,并具有以下3种投资项目:
  项目A:从第一年到第四年每年年初需要投资, 并于次年末回收本利 110 % ;
  项目B:第三年年初需要投资, 到第五年末回收本利 125 %, 但规定最大投资额不超过 5万元;
  项目C:五年内每年初可买公债,于当年末归还,并加利息7%。问如何确定这些项目每年的投资额, 使得此人第五年末拥有的资金本利总额最大?
  第一步,可根据投资情况建立投资份额表,如下表(表2):
  表2 投资份额表
  上表中xia,xib,xic(i=1,2,3,4,5)分别代表第i年年初向项目A,B,C项目投入的投资额。
  第二步:确定目标函数,在此例中如何获得最大的本利总额,设Z为最大的本利总额。目标函数应该是三项投资在第五年末回收的本利之和。
  第三步:确定函数的约束条件。在此例中,要想获得最大的收益,必须在每年年初就将手头全部资金投出去,这是原则一。每年年底收获的本息总额即为第二年年初的投资总额,这为原则二。根据这两个原则,可以确定如下关系式:
  第五步,求解此模型。根据单纯形法的迭代运算(具体步骤此处省略)求得最佳的投资方案如下:
  第一年: x1a =30000元, x1c =70000元
  第二年: x2a =2249元, x2c =5000元
  第三年: x3a = 0元, x3b = 50000元, x2c = 0
  第四年: x4a = 45000元, x4c = 0
  第五年: x5c = 0
  到第五年末期拥有总金额为 126250元, 即盈利 26.25 %。
  3.3 成本最小化问题
  先假设某公司要对其生产的某产品进行电视广告宣传。广告的受众群体是妇女和儿童。电视广告的收费根据时段的不同而不同。上午时段,播放一次广告节目的收费为1000元,中午时段,播放一次广告节目的收费为1300元,晚上时段,播放一次广告节目的收费为5000元。而每个时段,受众全体的收看人次也不一样。先假设上午时段,每次广告节目总共有500位妇女和500位儿童观看;中午时段则有1000位妇女和1500位儿童观看;晚上时段则有8000位妇女和6000位儿童观看。该公司要求每天至少有90000位妇女和75000位儿童能观看到此广告节目。问如何安排广告节目的播出时间以达到此要求又能最节省广告成本。
  根据以上描述,首先确定决策变量为x1,x2,x3分别为上午,中午,晚上播放广告节目的次数。可确定总观看人数表(表3):
  表 3 每时段观看广告人数
  第一步,确定目标函数,此例中目标函数为最小的广告成本,设广告总成本为Z,则
  minZ=1000x1+1300x2+5000x3
  第二步,确定约束条件为:
  500x1+1000x2+8000x3≥90000500x1+1500x2+6000x3≥75000x1,x2,x3≥0
  第三步,运用单纯形法计算得到最优解为:x1=1,x2=10,x3=10,minZ=64000元。也就是说上午时段播一次,中午时段播10次,晚上时段播10次既能满足受众群的观看要求,也使得播放成本最低。
  4.结论
  线性规划通过建立数学模型,描述在经济管理工作中所遇到的各种实际问题,求解其最优解或最佳方案,指导企业,政府机构,银行部门等进行整体统筹规划,力求使用最少的人力物力资源达到最大的经济效益;或在一定的人力物力资源约束条件下,进行合理的统筹规划以达到获得最大的利益。运用线性规划方法能够使得企业的决策具有科学性和可靠性,能够使得企业积极的适应激烈的市场竞争,进行合理的资源配置,制定科学的生产计划和投资计划,从而提高企业的效率获得最大的经济效益。线性规划将管理和科学完美的结合在一起,将在管理领域具有广泛的发展和应用空间。
  参考文献
  [1]唐加冕, 周京徽. 线性规划问题在经济生活中的应用[J], 商业时代, 2011(19):10-11.
  [2]齐毅. 经济应用数学――线性代数与线性规划[M],北京: 北京高等教育出版社, 2002.
  [3]刘春艳. 线性规划在经济管理中的应用[J], 电力学报,2 008(23):459-462.
  [4]赵娜;黄瑞芳. 线性规划模型在经济管理中的应用[J], 济源职业技术学院学报, 2010(3):62-65.
  [5]杨冬英,高玉斌. 线性规划在企业经营中的应用[J], 河南科技, 2007(10): 45- 46.
  [6]熊杨. 线性规划在现代管理中的应用[J], 山四财经学院学报, 2009(4).
  [7]曾梅清,田大钢. 线性规划问题的算法综述[J], 科学技术与工程, 2010(1):152-159.
  [8]伍学滨,邓小英. 运筹学在经济管理中的应用[J], 企业经济, 2005(11):57-58.
  [9]陈宝林. 最优化理论与算法[M], 清华大学出版社, 2005.

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