CAI 中学数学教育优秀论文

四川省资阳中学 陈彬 摘要:进入二十一世纪,人们深刻感受到信息社会对我们的冲击!社会在发展,时代在前进,教育的内容、方式也必须跟着改变。计算机辅助教学作为一种新型的教育技术,已经在我国部分中小学的教学中实施,并在不断推广,作为学校的现代化教育工程一项
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  四川省资阳中学 陈彬

  摘要:进入二十一世纪,人们深刻感受到信息社会对我们的冲击!社会在发展,时代在前进,教育的内容、方式也必须跟着改变。计算机辅助教学作为一种新型的教育技术,已经在我国部分中小学的教学中实施,并在不断推广,作为学校的现代化教育工程一项不可缺少的内容,正日益受到人们的关注和重视。作为中学重要学科的数学,与CAI有着必然的联系,CAI的优势、CAI应如何辅、辅在何处,这一直是人们讨论的问题,本文从一些侧面进行了讨论,提出了一些想法。

  关键词:CAI 中学数学教育

  一、背景:数学教育的实质与CAI的发展

  我们正面临深刻的变革。历史上,技术从来没有象今天这样能施展它的魔力,如此迅速而广泛地改变着社会。以计算机和通讯为代表的信息技术似乎缩短了“未来”与“现实”的距离,进入二十一世纪,人们深刻感受到信息社会对我们的冲击!社会在发展,时代在前进,教育的内容、方式也必须跟着改变。计算机辅助教学(CAI——Computer Assisted Instruction)作为一种新型的教育技术,已经在我国部分中小学的教学中实施,并在不断推广,作为学校的现代化教育工程一项不可缺少的内容,正日益受到人们的关注和重视。作为中学重要学科的数学,与CAI有着必然的联系,CAI的优势、CAI应如何辅、辅在何处,这一直是人们讨论的问题,同时也是本文的背景。

  长期以来,数学科学作为一种严谨系统的演绎科学,以具有高度抽象的思维活动,而被称之为科学的王冠,披上一层神秘的面纱。受这一理念的影响,传统数学教学形成了“教师讲授—模仿练习—强化记忆—测验讲评”的模式,学生只能被动地听教师讲授现成的数学,最后就形成了“掐头去尾烧中段”的现象,数学知识的形成过程被淡化,探究数学知识发展的进程被终止。与此同时,由于学生听到的是别人数学思维的结果,而很少有经过自己数学活动获得的亲身感受,于是数学的抽象和严谨成了他们学习的最大障碍。

  著名数学教育家乔治波利亚指出:“数学有两个侧面,一方面是欧几里得式的严谨科学,从这个方面来看,数学像是一门系统的演绎科学;但是另一方面,在创造过程中的数学更像是一门实验性的归纳科学。”由此看来,数学科学不光有严谨推理的一面,还应有猜测、实验、归纳验证的一面,这一认识恰好是传统数学教学模式所忽略的。CAI从本世纪中旬诞生以来,以普莱西的机器教学理论、斯金纳的程序教学理论和当代认知学习理论为主要理论,以“数学实验”为主要手段,借助计算机,改变学生与学习对象的关系,使学习由被动的接受转变为积极进取的获得,使认知从知识形成到知识的发展都展示在学生的学习过程中,促进认知的全面完成。与此同时,改变教师的教学角色,使教师从大量的知识传授中解放出来,教师将会有更多的精力投入和转移到对学生发展上的考虑,对于学生的感情世界、兴趣爱好、人格成长,可以给予更多的关注和影响,促使教师的作用升华到更高境界。CAI这一现代的信息传输工具,降低了认知的难度,增加了学生“直接知识”的存储量,提高了知识巩固的效果及灵活运用知识的能力。同时它可以给学生的学习创造良好的环境,允许学生根据自己的实际情况自主学习,从根本上解决传统数学教学的“满堂灌”和“齐步走”等弊端。它还可以使学生“参与”到数学学习中,增加学生的学习时间,提高学习数学的兴趣,全面提高教学质量和教学成绩。

  1958年美国IBM公司研制成功世界上第一个计算机辅助教学系统,开始了对辅助数学教学的研究。先后经历了大型CAI项目,利用微型计算机辅助教学的效果,利用多媒体技术和远程通讯、互联网络辅助教学的效果等一系列实验研究。从学生的学业成绩、学习的保持和速度、学习的态度、解决问题的能力等多视角研究、实验、对比,形成了不同的流派和不同的观点,最终是肯定了CAI对中学数学教学是有益的,是有促进的。在国内,1980年华东师大现代教育研究所CAI研究中心成立,拉开了我国CAI研究的序幕,短短十几年的时间,从分散的、作坊式的、无组织的自生自灭状态,发展到今天有各极实验研究课题,有实验学校,有软硬件开发机构等规范化的、生气勃勃的局面,取得了长足的发展。特别是九十年代,一大批如《几何画板》、《MATHCAD》、《OFFICE》、《AUTHORWARE》、《WINDOWS》、《数学实验室》等软件平台的引入和开发,使得其迈上了一个新的台阶。

  但是,与此同时我们还必须清楚的看到,受传统观念的影响,以及地区差异、经济发展等各种客观条件的影响,该项研究还很不尽人意,甚至不少地方还只停留在公开课、演示课和示范课上的一种表演层次,面对新世纪对学生成才的要求,面对实施素质教育的紧迫任务,我们有必要把这项研究进行下去,以期取得突破性的成果。

  二、计算机辅助数学教学的优势

  1、CAI可创设生动活泼的课堂教学氛围,激发学习兴趣

  CAI具有鲜艳和生动的图像,动静结合的画面和智能性的启发诱导功能,能使呈现的教学内容形象生动,富有感染力,使学生在学习过程中的注意力﹑情感﹑兴趣等心理因 素保持良好状态,认知心理能得到充分发展。在数学教学中,学生接触的是抽象的数学符号和呆板的图形,仅凭教师的讲解或是辅助单调的手势,教学手段枯燥,难以启发学生的思维积极性和激发他们的求知欲。利用计算机辅助教学,同样的数学运算和几何图形,通过动画形式表现出来,再配上优美的背景音乐,会使枯燥的学习变得轻松愉快,把学生的认识过程﹑情感过程﹑意志过程统一于教学之中,有效地激发学生学习数学的兴趣。

  2、CAI可使学生通过多种感官获取知识,增强理解和记忆

  数学知识的抽象性,决定了学生对其理解﹑巩固﹑应用的难度。计算机的辅助数学教学,凭借形声教材产生的直动﹑生动﹑形象﹑即时等声像效应,能刺激﹑感染和吸引学生,使他们在数学的学习中获得较为深刻的感性认识,从而更好理解和记忆所学内容。据心理学研究表明,如果仅凭听觉,能识记知识的10%左右;仅凭视觉,能识记知识的70%左右;把视﹑听觉协调并用,能识记知识的90%左右。恰当地利用计算机辅助数学教学,可以为学生提供多种感官获取数学知识的环境,达到对数学知识的强化记忆和理解。

  3、CAI可提高数学课堂教学效率,增强学生素质

  计算机辅助数学教学,以屏幕代替黑板,节省了画图和书写的时间。由于屏幕语言简洁精练,体现了CAI课堂教学的规范性和科学性,而且CAI课堂教学包括“教” ﹑“学” ﹑“练”三部分,体现了课堂教学的整体性。由此增大了教学密度,提高了课堂教学效率。利用CAI的交互性,通过人机对话形式,改变了一味灌输知识的被动学习状态,学生能发挥学习的主动性和灵活性。同时,计算机辅助数学教学,有利于激发学生的非智力因素。非智力因素对学生的学习具有导向﹑动力﹑强化等作用,因此它是推动学生学习的动力系统。计算机辅助数学教学能创设情景,引发动机;提供事实,显示过程;强化刺激,加强注意;归纳知识,增强记忆;等等。一个班的学生学习数学知识的智力因素有一定差异,教师根据学生的知识基础和学习能力,利用CAI 教学进行因材施教,就会缩小学生接受数学知识的差异,使学生的整体素质得到提高。

  4、CAI教学的演示,可实出重点,化难为易

  数学的抽象性决定了很多知识仅靠讲授或在黑板上画出呆板的图形,很难让学生迅速理解和记忆。而针对数学内容的特点,制作CAI课件,利用计算机辅助教学,通过着色演示﹑图形拼接演示或局部放大演示等手段,可突出讲授的重点,让学生清晰透彻地观察明白,从而实现难解化易﹑复杂化简的教学过程。例如在讲授行列式这一章时,其概念教学是难点,计算方法是重点,为突出教学的重点和突破教学的难点,通过CAI教学,给行列式不同行不同列的元素着色并加以演示,很快使学生看清楚行列中有多少个不同行不同列的元素组,可迅速理解其定义。为讲解行列式计算方法的拉普斯定理,利用课件按选定的元素所在的行和列进行分块再拼接,可以清楚地演示出子式和余子式的关系,迅速给出其证明,使教学重点突出,化为难易。

  5、CAI营造的空间氛围,有利于学生建立数学空间概念

  传统教学手段,如挂图﹑实物模型等,在数学教学中起到了一定的直观教学作用。但在立体几何的教学中,挂图和实物模式型却难以演示,很难让学生建立起空间概念。如一个几何体内部的线面关系,靠挂图和实物模型就难以描述清楚,而计算机辅助教学,通过制作相应的课件,既能给出空间图形,又能较好地演示空间物体的内部结构。这对学生增强立体感﹑建立空间概念﹑建立空间想像能力,起到了传统教学手段无法实现的教学效果。

  6、CAI可描述图形动态形成过程,有利于化抽象为具体

  在数学教学中,学生只知道结果,不了解结果的形成过程,就不能从根本上学懂数学知识,记忆也不会深刻。借助计算机辅助教学,能使图像鲜明﹑生动,由表及里地描述其动态的形成过程,使学生从根本上理解和记忆所学知识。如讲椭圆﹑双曲线和抛物线的概念,利用计算机可以清楚地描绘符合条件的动点轨迹的形成过程。又如讲直纹面,可以演示直线动态形成曲面的过程,把过去的理论叙述和靠头脑想像的抽象知识,转化为活生生的动画图像,就使得难以理解和想像的知识具体化﹑形象化,使教学收到事半功倍的效果。

  三、关于计算机辅助数学教学的一些思考

  当前传统的数学教育面临巨大的困难。从教学内容看,几十年不变,内容陈旧;从教学方法看,大部分数学课堂没有摆脱以教师传授为主的注入式,数学课难以唤起学生的积极性;从教学对象看,数学教育并没有做到面向全体学生,真正的“因才施教”至今还难以实现;从教学目标看,决大部分精力还放在应付考试的单纯解题训练上,数学知识的形成过程被淹没了,数学与实际的生动联系不见了;从教学模式看,基本上还是教师讲学生听的“一刀切”的班级授课,学生被动学习的局面没有改变,缺少必要的“个别化”教学与学生彼此之间的交流,学生的课堂参与是极其有限的;从教学评估看,大部分是凭经验“摸着石头过河”,难于及时准确地了解教学信息,因而我们的教学策略难以保证有很强的针对性;从教学手段看,没有摆脱“粉笔加黑板”的束缚,计算与画图还是传统的手工方式,教师的工作基本上还属于个体的手工业劳动。数学不仅是学生的沉重负担,也是教师的沉重负担,综上所述,传统的数学教育在喘息,陈旧的内容,陈旧的方法,陈旧的观念,缺乏生气的课堂,事倍功半的效果,传统教学似乎使出了全身的气力,却仍不能满足数学化时代的需求。

  人们认为:把计算机引入教育将带来深刻而广泛的的影响,它不单会影响到教学内容的变化,而且将引发教学方法、教学模式、教学观念等等一系列的变革。人们看中了计算机能将文字、图形、动画和声音有机地编排在一切,从而激发学生的兴趣,增强学习的积极性;人们看中了计算机能给学生提供更多动手的机会,特别是计算机的人机交互功能,为实现教学的“个别化”创设了理想的环境。对数学教学而言,特别令人欣赏的是计算机的快速计算本领与绝妙的处理图形的能力,人们断定计算机将能迅速改变数学教学的面貌。然而从CAI兴起至今,人们期望看到的奇迹还没有发生,借助于计算机促进数学教学改革的进程相当艰难。

  一个大问题是教学软件。市场上号称“电脑教师”的教育软件多半是课本搬家式的电子书或变换方式的习题集。这类教育软件使人们对CAI 产生了怀疑:“原来这就是CAI 呀!看来与其用这类软件还不如认真地看看书,更不

  如听有经验的教师讲课。”所谓“电脑教师”还是不如真正的教师,计算机还是难以进入课堂。于是教师只好亲自参与开发软件,由于教师远比一般的计算机工程师熟悉教学、了解学生心理,所以这类软件可以在教学中发挥一定作用。但问题又来了,那就是开发效率太低,一节课用的软件需要几十个小时开发,谁都难以长期坚持下来。加之每一个软件都体现了开发者的个性,在当前每一位教师都要在课堂上展现自己个性的情况下,教学软件难以推广。于是各地都在开发大都只在自己的教学中应用的属于自己的软件。面临以上困难,多数教师不愿做吃力不讨好的事,还是钟情于粉笔与黑板。同时,低水平的重复开发又引来对CAI的种种非议:用大量的人力物力搞CAI是否值得?在现时条件下CAI到底能给教学改革注入多大的活力?

  在借助于CAI促进各学科的教学改革中,数学大概是最困难的学科,引起的争论也最大,首先是怎样激发学生的学习兴趣?借助于多媒体技术,英语、生物,地理等学科的教学软件可以做得图文并茂、有声有色,但数学却不能,因为数学是需要进行进行思维训练的,不仅依靠课件表面的生动难于激发学生持久的学习热情,而且也难于达到数学教学的目的。一个尖锐的问题是:在数学教学中引入CAI 是有助于学生的思考呢,还是相反?有些人担心过分依赖计算机将导致学生相应能力的萎缩。这种担心并不是杞人忧天,一些西方国家孩子当前数学能力的下降似乎与滥用计算机技术有关。事实上,现代数学技术的发展不仅使数字计算变得轻而易举,而且一个复杂的方程求解、一个方程曲线或函数图象的绘制,一个积分或矩阵的运算,都只需轻轻一按键盘,一切结果顷刻会在电脑屏幕上显示出来。这种“描述”数学结论式的数学对数学教育是巨大的挑战。它有助于概念的理解吗?有助于问题的求解吗?有助于学生数学能力的提高吗?甚至数学教育的必要与目的性都受到怀疑,学生会问:有了计算机还学数学干什么?教师会问:有了计算机数学还教什么?数学教育的本质究竟是什么?但是计算机的汹涌浪潮却势不可挡,谁也栏不住的。当计算机进入千家万户之后,连学生玩电脑游戏软件我们都看不住,谁又能禁止他利用数学软件完成数学作业呢?看来,既不能对计算机持反对态度,也不能对它持无可奈何的消极态度,积极的对策是更新观念,认真研究一下有了计算机教学内容、教学方法、教学模式应该有哪些变化,研究数学CAI的理论和原则,考虑在现代教育技术支持下什么是理想的数学教育。

  讨论什么是理想的数学CAI,首先要讨论什么是理想的数学教学,要讨论计算机以外的因素。这就必须考虑数学的学科特点,考虑不同学生学习数学的心理特征,还要考虑数学技术飞速发展的未来社会对人的数学素质的需求,然后再回过来讨论CAI软件的设计思想与使用原则。这当然是一个复杂的问题,很难在一篇文章中讨论清楚。但我们以为至少以下原则是肯定的:

  1、启发性

  启发性是数学教学的灵魂,因为归根结底数学是人类一种高度的精神活动。美国著名数学家柯朗 (R Courant)在《数学是什么》一书中指出,“数学,作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志,缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要求是:逻辑和直观,分析和构造,一般性与个别性。虽然不同传统可以强调不同的侧面,然而这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成数学科学的生命、用途和繁高价值。”因而数学教学决不能只告诉学生现成的数学结论,或让他们死记公式定理法则。历史上,数学的每一步前进都是以数学家付出的艰难探索为代价的,有些成果甚至是上百年几代数学家心血的积累。今天要在很短的时间里让学生理解它们,不启发他们运用自己的智力认真思考怎么能行?在这个意义上讲,数学教师的责任在于再创造,在于提出深入浅出循循善诱的问题、设计最佳的教学情景与活动,让学生通过自己的思考去获得知识。

  在传统教学中启发式谈了几十年,至今并没有很好的解决,现在在数学教学中引入CAI 情况又怎样呢?应该说大量死板的课本搬家式的软件使人担忧,如果说多数传统的数学课堂缺少启发式,那么这类软件就根本没有启发式。所谓讲解就是在屏幕上显示出有关的概念、定理、公式,不谈他们的来源和用场,不谈知识的内在联系和发展,更不谈最值得领悟的数学思想和方法。所谓练习就是在屏幕上显示出答案,有的甚至连必要的过程都没有,对于判断选择题或一类简单的填空题,计算机倒是有些交互功能,但反馈信息却谈不上任何启发性。试想:当学生答对时屏幕显示出“对了,你真聪明!”,当学生答错时屏幕显示“真遗憾,你没答对,请再加油想想。”人们这时对CAI 会怎么看呢?是否与传统教学相比,计算机更不利于表现启发式的教学呢?是否对表现以抽象与严谨为特征的数学,不是计算机的特长甚至是它的特短呢?

  我们认为对数学CAI持如此悲观的看法是不必要的。实践表明,计算机在这方面不是无能为力而是大有潜力的。近年来我们在教学中引入《数列的极限》、《周期函数与周期函数的周期》、《正方体的截面》等教学软件,都较之传统教学更富于启发性。过去对这些传统教学的难点,教师常感到力不从心,而现在通过精心设计的数学CAI,教学更多成为学生自己思考探索的过程,计算机缩短了抽象严谨的数学与学生认知水平之间的距离。于是新的课题出现了。过去探讨如何在粉笔加黑板的班级教学条件下设计启发式的数学教学,现在则需要考虑如何在计算机技术的支持下设计出比传统教学更富于启发性的教学、

  2、针对性

  有的放矢的教学对所有学科都是重要的,但对数学教学的重要性就尤其突出。由于数学知识的内部联系密切,环环相扣,系统性强,某一学习环节的障碍,往往造成下一阶段学习的困难,因而学生一旦在数学学习上掉队往往很难补上。数学学习心理学认为:数学学习并非一个被动的接收过程,而是学习者以自己原有的知识和经验为基础的主动建构过程。如此说来数学教学

  必须考虑每一个学习者原有的知识和经验,只有这样才谈得上教学的针对性,也才谈得上有意义的教学。

  在传统教学中教学的针对性解决得如何呢?实践表明,当前在以教师为中心的班级授课的条件下,这个问题是难于解决的。由于教师在课堂上只能用统一的节奏,同样的策略,面对全班学生,更多地只能考虑共性,难于照顾个性。而每个学生原有的基础知识与经验不同、思维有快有慢,教师在课堂上不可能做到针对每一个学生。

  在数学教学中引入CAI 情况有了一些变化。在我们的实践中,学生一人一机或两人一机利用教学软件学习,他们可以利用键盘或鼠标控制学习节奏,还能通过菜单选择他们需要的内容或帮助信息,这在一定程度上增强了教学的针对性。然而利用数学CAI 软件学习,教学针对性的问题并没有完全解决,并且在许多情况下电脑还不如教师。有经验的教师的最大的特长是能够随机应变因势利导,他可以提出恰当的问题及时了解学生的掌握程度,在得到学生的反馈信息之后,他们能马上变换教学策略,几句话讲到点子上,使学生茅塞顿开。教学软件要有针对性,就要求设计者必须设身处地地设想电脑在和学生面对面地交谈,学生看到电脑的每一屏他可能怎么想,下一步屏幕上又该显示怎样的具有启发性的文字或图象,这对软件设计的要求是很高的。所谓智能化的软件应该是能对不同的学生适时改变教学策略的软件,这样的软件或许可称得上是“电脑教师”了,遗憾的是当前市场上的“电脑教师”名不符实,至今还没有看到真正智能性的软件。其实要求教学软件具有和教师一样的灵活的智能性,本身就不现实。可以肯定,设计智能化的“电脑教师”要比设计与国际象棋大师对弈的“深兰”不知要困难多少个数量级。我们以为正确的思路是并非让计算机代替教师,而是充当教师的得力助手,这样计算机就大有可为了。例如能否考虑几种主要的学生类型,根据他们的不同学习心理设计针对性较强的教学软件;能否考虑把数学CAI与传统教学结合起来做到优势互补;能否考虑利用网络技术加强学与教的及时交互等等。

  3、学生的主动参与程度

  学生是学习的主体,数学学习中的概念理解与问题求解,哪一样也离不开学生的主动参与。然而在以教师为中心的传统课堂上,学生的参与是有限的。在数学研究中,数学家在“做”数学,在数学教学中,学生在听数学,这两者有本值的区别。美国的数学家对传统教学提出了疑问:“我们现在所教授的是我们正在做的那种数学吗?”讨论这个问题是有积极意义的。它不仅涉及到传统的传授数学知识的方式是否有效,是否能调动学生数学学习的主动性与积极性,还涉及到数学教学能否有助于建立学生正确的数学观并增强他们学习数学的自信心。我们认为现在数学课堂教学评价的一个误区是:衡量数学课的质量更多看中的是教师的表演,而不是学生自身的参与。

  把CAI 引入数学课以后情况发生变化了吗?从目前的情况看,基本上没有变。大多数课堂上,计算机的作用只相当与一个放相机辅助教师讲解演示,计算机所特有的交互性没有发挥作用。学生还是看着大屏幕听教师讲,教师为中心的传统教学模式没有改变。值得注意的是现在各地正在投入大量的人力物力开发这类软件。比课本搬家式的软件略有进步的只是增加了一些动画,有的还插入教师讲课的片断,细想起来这类软件完全可以用录相片替代的。

  看来数学教学软件的设计必须要考虑教学模式,计算机仅仅是帮助教师讲解演示呢,还是可以用来支持数学教学的个别化,或利于促进小组讨论式的协作学习?近年来我们进行了这方面的探索,开发了一些这样的软件,如“反三角函数的概念与性质”,“异面直线的概念”,“异面直线的角和距离”等等。学生可以利用软件一人一机或两人一机,边看屏幕、边敲键盘、还可以对照屏幕演算推导、阅读课本、相互讨论、向教师质疑。实践表明学生的主动性极大地增强了,这在一定程度上实现了由听数学到做数学的转变。但还有许多问题没有解决。例如怎样看待学生的参与。是否学生的参与只限于在计算机上作题,事实上学生在计算机上完成选择题与填空题是方便的,而完成解答题就很困难,姑且不谈证明题的思路设计,就是数学表达式的输入就存在严重的障碍。计算机并不利于学生的笔头及口头表达与相互交流,而这些利用传统教学的纸和黑板倒更方便,例如,课堂的集体讨论更容易创设口头交流的活跃气氛。那么学生的哪些活动适宜在计算机上进行,哪些宜于离开计算机?支持学生积极参与的软件又如何设计,如何使用?数学CAI与传统教学如何配合?再一个现实问题是开发教学软件的效率,能否利用现成的工具投入很少的时间同样能组织学生积极参与的数学活动呢?只有这样广大教师才能够接受计算机,数学CAI也才能真正促进数学教学的改革。我们认为估价计算机对数学教改的作用,不应局限于一节课、一个课件,而应从整体出发进行教学设计。最近把“几何画板”及“mathcad”引入教学的实验给了我们很大的鼓舞,我们坚信计算机能带来数学教学模式的深刻变革,学生能够从被动接收的学习方式变成主动的发现和探索知识。

  综上所述,计算机能给数学教改注入强劲的活力,但计算机技术不是关键的因素,起决定作用的还是教师,是信息时代数学教师的教育观念。实践呼唤理论,过去多年传统教学形成的的数学教学法,数学教育观显然不能圆满地解答现在涌现的许多新问题了,时代需要我们探索和发展数学教育的新理论。

  四、对当前数学教改几个热点问题的意见

  以下我们将探讨,在提供现代教育技术支持的条件下,当前数学教改的几个具体问题。它们是:(1)计算机对几何教改的影响。(2)计算机与数学概念教学。(3)计算机与问题求解。(4)计算机对教学模式的影响。

  1、计算机对几何教改的影响

  几何多年来是教学的难点,也是数学教改的热点,核心是对欧几里得几何如何改造。这个问题牵动了许多数学家和数学教育家。“新”数运动中,作为布尔巴基学派领袖的法国数学家丢东涅(J. A. Dieudonne)曾提出“欧几里得”滚蛋的

  口号。而另一位著名数学家R. 托姆(R.Thom)则认为欧氏几何是把二维、三维空间的过程转述为书面语言的第一个例子;几何思维是人类理性活动的正常发展中不可省略的阶段。经过十多年,“新”数学运动失败了,它留给世人一连串深刻的思考和教训,其中重要的一条是:对欧几里得几何这份宝贵的历史遗产的改造要持慎重态度。

  当前这场争论仍在继续。例如,在计算机飞速发展的今天,计算机不仅能快速的进行计算,还能进行机器证明。于是一些数学家包括最著名的数学家提出:几何教改的方向就是几何的代数化、几何证明的机械化。另一些数学家其中也包括最著名的数学家则对此表示了担心。英国数学家M. 阿蒂亚(M. Atiyah)认为几何直观是增进数学理解力的有效途径.,欧氏几何在学校的衰落是件不幸的事。我国数学家丁石孙教授认为。“由希腊人开创的几何永远是教育中训练思维的最好工具”。于是,“几何教改向何处去?”真成了难题。。一方面欧氏几何是珍贵遗产,另一方面又成为一个沉重的负担。要妥善地改造几何,就需要认真考虑几何的特点,几何在数学教育中的作用,学生学习几何感到困难的原因,特别是有了计算机几何教改可能有怎样的新思路。

  M. 阿蒂亚(M. Atiyah)在“什么是几何”一文中是这样谈论几何的:“几何在希腊人手中成为数学的第一个分支并趋于成熟,这件事绝非偶然。究其基本原因,几何乃是最少抽象性的数学形式,它在日常生活中有直接的应用;而且不需花费太多的智力就能理解它。”“几何是数学中这样的一个部分,其中视觉思维占主导地位。”在几何中直观和抽象是两个不同的侧面,而这两个侧面联系的又如此紧密。尽管几何中没有大小的点、没有宽窄的线、没有厚薄的面是十分抽象的“理想”世界的“理想”事物,但借助与视觉思维和生活经验并不妨碍人们理解它。在几何中人们抽象出的数学概念是相当多的,如平行线、相交线、垂直线、角、余角、补角、三角形、全等形、相似形、……,可以说人们在几何中抽象出的概念比代数多得多,然而这些概念的抽象都是以直观的图形为背景。变得不难理解,这是与代数的最大区别。或许正是由于这个原因,希腊人才从几何开始把注意力集中于对事物基本属性的准确把握,感受到数学抽象的巨大威力。数学也才从几何开始上升为一门系统的科学。

  除开图形的直观性之外,系统化的演绎推理是几何的另一特征。欧几里得总结了前人的成果,从不多的几条精心选择的公理出发,推导出来一系列定理 (竟达近500条)。人们第一次从几何中看到逻辑的力量,人们理性思维的力量。通过概念的抽象化,再结合演绎推理,数学作为人类高度精神活动的实质被凸现出来了,从此数学成为一种哲学,影响了人类几千年的发展。

  在分析了几何的特点之后,几何在数学教育中的作用就清楚了。数学不是作为一种教条让学生死记硬背就行了,数学也不是作为一项技能让学生反复练习就可以了。归根结底,数学教育应该提高人的思维能力,如此说来几何怎么能够大刀阔斧的砍掉呢?几何不应被看做是过时的老古董,只是由于它难学就采取枪毙的做法。事实上,几何是一种思维方式,这种思维方式的训练 对于智力发展可能受到高技术负面影响的新的一代是必不可少的。

  让学生在几何教学中受到良好的思维训练,就要减少他们学习的困难,并激发他们的学习兴趣。这是否有可能呢?我们认为有必要反思我们的教学。

  上面谈到,“几何乃是最少抽象性的数学形式,它在日常生活中有直接的应用;而且不需花费太多的智力就能理解它。”为什么不少学生感到几何难学呢?恐怕原因之一是从直观到抽象这个环节出了问题。几何又是用一大套定义、公理、定理精心编织的体系,而这些定义、公理、定理是用严谨抽象的语言表达的。多年来几何教学让学生背定义、背定理,而缺乏足够的几何图形作为抽象概念的基础。不少学生对所背的内容并不理解,他们当然感到枯燥困难。不少学生被迫记忆的是没有意义的单词组合。有些被歪曲地误解了,有些则似是而非。如对垂直关系许多学生只认识水平位置与竖直向下的直线,等腰三角形的顶角必须处于‘上面’的位置,直角三角形、圆周角也被学生顽固地放到特定位置。这表明学生并没有全面正确的抽象出概念,他们没有抓住事物最本质的属性。 另一个原因是片面强调逻辑思维训练,忽视了观察、实验、想象、猜测等方面能力的培养,于是本来生动、机智、充满创造力的整个数学思维过程不见了。教师经常代替学生思维的结果导致学生懒于思考并怀疑自己的智力。

  在分析了学生学习几何困难的原因之后,我们指出计算机能够帮我们一些忙,教育技术能极大地开阔几何教改的思路,创造出传统教学不可能实现的奇迹。

  首先谈谈动态的图形。利用计算机技术我们只需一两分钟就能画出动态的三角形、动态的特殊三角形、动态的互相垂直的直线、动态的圆周角等等。这给几何教学带来了转机。让图形说话!过去许多用口头用语言难以讲清楚的概念,现在一看图形就完全明白了。需要时只需轻轻一按鼠标将动态图形定格,就能得到变式图形,这为学生抽象出准确的概念提供了丰富的素材。再谈测算,过去必须用刻度尺与量角器进行度量,现在利用计算机能对线段、角度。面积等我们感兴趣的几何量(包括动态图形的几何量)进行及时的度量和计算。于是许多图形的几何性质,某些条件对图形性质的影响可以让学生自己去发现了。利用鼠标还能托动图形或其中的一部分平移、旋转或缩放,这不仅便于更深刻认识图形,还能直观地显示运动变换等数学思想。计算机还能顷刻隐藏或显示图形的某一部分,这使得图形的分解与综合都可以在学生眼前出现。通过多窗口显示能将几个图形加以对比或把某图形的一部分局部放大。通过菜单能随心所欲地切入画面、文字、声音,这使我们借助于计算机可以创设出最佳的教学情景。所有教过几何的教师面对计算机提供的上述帮助都会兴奋不已,当几何教改进退两难之时,教育技术无疑带来了希望的曙光。看来欧氏几何这一珍贵的遗产,不一定非成为沉重的包袱。

  近来我们数学CAI课题组引入了“几何画板”,初步的反映表明:几何能成为最受学生欢迎的课程之一。计算机对几何教改的影响是深远的,它的确能改变学生对学习几何的态度和方法,提高他们对几何的认识能力。那么在教育技术的支持下几何教改的出路何在呢?我们的意见是不一定非要对欧氏几何动大手术。它的公理法还是有必要让学生知道的。几何是训练学生形象思维与逻辑思维能力的极好材料,但不应把几何课当成纯粹的思维训练课,而应密切它与实际的联系,引导学生用几何。应充分发挥计算机的优势用丰富的图形减少学生学习几何的困难、激发他们学习的兴趣,尽可能让学生亲自动手“做”几何。

  顺便提一下解析几何与立体几何。在传统的解析几何教学中,形数的结合不好表现,曲线作为动点运动的轨迹只能依靠想象,现在不同了。利用计算机可以测算出平面内任一点的直角坐标和极坐标,当用鼠标托动点运动时动点的坐标的变化能及时显示,可以通过动画生动地表现曲线作为动点的轨迹的形成过程,这无异将极大改善解析几何的教学现状。至于立体几何,传统教学的最大困难是培养学生的空间想象力。几年来我们的实践表明,计算机同样可以发挥它的积极作用。截面问题,折叠问题、侧面展开、从不同的角度观察图形,空间图形的分解与组合……这些传统教学的困难,现在通过计算机得到了圆满的解决。总之,计算机对几何教改有着深藏的巨大潜力,在教育技术的支持下,21世纪的几何教学似乎将有一个巨大的变革。

  2、计算机与数学概念教学

  在数学教学中,概念教学是重要的,也是困难的。经验表明,让学生理解某一数学概念有时要比教他们学会一个具体的解题技巧不知困难多少倍。有些内容,例如函数概念、数列极限的“ -N”定义,一直是数学教学中传统的难点。学生学过函数概念之后多数并不理解符号“f”的意义,学生学过极限定义之后有种听天书之感。这促使我们探讨概念教学的改革及计算机在其中所能发挥的作用。

  应该看到,造成概念教学困难的原因是多方面的。首先是对它的重视程度不够。当前在应试教育的体制下,对解题教学的重视远远超过概念教学,用于解题训练的时间与精力远远多于对数学概念形成过程的剖析。实际上,后者涉及到数学的本质,本应给予更多的研究。

  数学概念离不开抽象思维及严谨的数学语言表述,而抽象与严谨正是学生疏远数学的原因。计算机的可视化技术能对几何教学提供生动直观的图形,这容易为人们认可,然而这又使人们认为计算机所能表现的仅仅是“描述”式的数学,对于表现需要深层思考的数学概念,计算机恐怕是无能为力的。近年来我们的实践消除了这种怀疑,教学软件“数列的极限”在连续三届学生使用的效果表明,计算机可以缩短数学与学生的距离,有助于学生理解抽象的数学概念。计算机辅助数学概念教学的效果是传统教学不可比拟的。究其原因,并非计算机本身具有这种教学才能,而是在计算机的支持下教师可以进行比原来更有效的教学设计。

  对概念教学进行设计,必须对数学概念的形成过程进行历史的和学习心理的考察。数学概念的抽象其实是相当困难的,有些甚至经历成百上千年的漫长过程。以函数为例,尽管从伽里略的著作里已经看到朴素的函数思想,尽管1673年“函数”概念就由莱布尼茨首次提出,但今天学生们在教科书中学到的定义却是经过包括达朗贝尔、欧拉、柯西、狄里黑里(Dirichlet)等几代数学家不断演化的结果。函数概念的内涵经过了几代人的努力才被凸现出来! 以极限概念为例,也包含着人类长期对“无限”过程的艰苦思考。在古代,人们早已有了关于极限的朴素思想,但极限定义的严格的形式化的语言表述却直到19世纪才最后形成,那是给分析注入严密性的产物。现在想来,学生在从教师或课本中接受这些数学概念时感到迷惑不解是太正常了!原因是思维的成果不经自己头脑的消化是不可能吸收的。学生固然无需完全重复先前人们抽象这些概念的思维过程,但重新经历其中某些重要的过程却必不可少,当前学生缺乏的恰恰是必要的抽象概念的思维过程。

  对概念学习进行心理分析是教学设计的另一个根据。著名心理学家皮亚杰提出:“如果认识了一个概念的心理学基础,这就意味着从认识论上理解了这个概念”。从这个意义上讲,数学概念的抽象需要坚实的实验。与物理、化学、生物等学科不同,数学实验的对象不是物质材料而是思想材料。在自然界中本没有数、代数式、方程、函数、极限等物质,只是由于有了人及人的活动,这些作为人对自然界的概括与认识,才成为数学研究的对象。教育心理学认为数学知识是建立在人对自身活动,运算过程的反省抽象的基础上。因此数学概念的象起源于学习与研究者的活动与运算,而数学的形式化是运算思维的必然结果。对学生来说,他的数学概念是在个别活动中构造出来的。是他在活动中根据自身的经验对知识的重组。皮亚杰把这种过程称为“建构”。经过以上分析,我们或许可以找出传统的概念教学的缺陷,并找到利于计算机辅助概念教学的策略。

  传统教学在讲授概念时一个难以克服的困难是缺乏学生足够的活动与实验,教师往往用自己的演讲代替了学生自身的“建构”过程。在课堂上提供的思维材料十分贫乏。利用计算机恰恰可以弥补这个缺陷,计算机能够提供理想的数学实验室,能够满足学生个别活动与小组讨论的要求,也便于创设富于启发性的教学情景。所以计算机在改进数学概念教学方面有着巨大的潜力。

  下面以数列的极限概念为例谈谈我们的教学设计。

  首先我们从“一尺之棰,日取其半”谈起,问如此组成的数列随时间的推移将怎样变化?屏幕上此时生动地显示出一尺之棰按日取其半的规律随时间变化的情况。这比课堂上原来只是口头讲授更能激发学生的思考。随后我们先后在屏幕上给出了数列前几项的数值、在数轴上以及在直角坐标系中表示数列前几项的点动态地趋向极限的图示。学生从以上创设的情景中完全能够理解此无穷数列变化的趋势是无限制地接近一个常数。这时我们在屏幕上以表格、数轴、直角坐标系为背景,给出了关于数列极限概念的说明:“粗略地说:如果一个无穷数列 变到后来无

  限制地接近某一个常数A,就说这个数列的极限是常数A”。下面我们给出几个具体的无穷数列,让学生猜出它的极限。屏幕不单给出数列的前几项的数值,用数轴和直角坐标系给出表示数列前几项的点,而且为学生提供了实验的环境。学生可以键入任意大的n的数值,计算机则马上显示相应的数列 的数值。过去教师的讲解现在变成学生的实验活动,实践表明每个学生通过实验都能猜出该数列的极限,这为数列极限的形式化定义打下了坚实的基础。我们还设计了一个选择题 还是 ?学生可以通过按键自由选择,对每种选择答案我们都在屏幕上给了详尽的分析解答。以上的所有教学设计基于这样一个指导思想:让学生通过参与实验与运算而不是听教师讲授自己领悟数列极限的概念,从感知到了解再过渡到形式化的定义。

  对极限的形式化定义我们精心设计了逐次精确化的过程。数列极限的“ -N”定义,或许是中学阶段学生最难接受的定义了。学生第一次遇到语句如此长的数学定义,加上其中包括那么多的数学符号 : 、A、n、N、 ,要让学生理解它,必须从学生可接收的粗略的描述极限的语言出发过渡到十分形式化的“ -N”定义。为此,我们在电脑屏幕上设计了如下的情景。在“如果一个无穷数列 变到后来无限制地接近某一个常数A,就说这个数列的极限是常数A”这句话的下面动画式地依次显示:(1) 接近某一个常数A;(2) 无限制地接近某一个常数A;(3) 变到后来无限制地接近某一个常数A。接着又在这三句话的后面依次显示:(1) 是一个很小的正数;(2) 能够要多小有多小,即对无论多小的正数 不等式 < 能够成立;(3)对于预先给定的无论多小的正数 ,只需取足够远的项n,那么它以后所有的项都满足 < .稍后以此为背景我们开出一个窗口显示出数列极限的“ -n”定义。在此之后我们还通过具体例子用图表显示 的值;用模拟的放大镜在数轴上显示表示数列的点动态地趋向其极限的情况;为帮助学生理解 -n 为学生创设了自由探试的环境:让学生自由地键入 ,屏幕则显示相应的一个n及后面的五项的值和这些项与极限的误差。通过反复实验,原来难懂的极限的“ -n”定义,现在变得十分容易理解了。

  这个软件的使用效果给我们的启发是深刻的。它说明计算机能够改善数学概念的教学,可以利于计算机进行比传统教学更加优化的教学设计,而教学软件设计的关键却不是计算机本身而是教师的教学观。先进的教学理论、丰富的教学经验与计算机技术的结合能够产生最佳的教学效果。当然开发这类软件是很费气力的,不可能所有的教师都有条件自己开发教学软件。事实上可以借助于如“mathcad”、“mathematica”这类现成的软件组织学生进行数学实验,这对帮助学生领悟数学概念肯定是有意义的。

  3计算机与问题求解

  1997年,一场人机大战引起世人的瞩目,这就是由IBM公司设计的超级电脑“深蓝”和称霸国际棋坛十二载的世界棋王卡斯帕罗夫的对弈。较量的结果,“深蓝”以二胜一负三平的总成绩赢得了胜利。现在这场人机智慧大战已偃旗息鼓,但却给世人留下了一系列深刻的启示。围绕这场比赛的热烈讨论仍在继续。“计算机在和人类的智慧挑战”,这将对世界的未来将产生何种影响?

  其实“深蓝”作为下棋的专家,它的智慧与经验是人赋予的,是人使电脑有了人工智能,因此“深蓝”的胜利实际上是人脑的胜利。由此我们自然可以问:能否把人类解题的经验和智慧赋予电脑,使它成为解题专家呢?进一步,能否再加上教师丰富的教学经验,使它成为教学专家呢?

  对前一个问题,近年来的研究成果表明,已经可以利用计算机证明任何一个几何题,也可以用计算机解任何一个一元一次方程的应用题。让计算机能解天下任何问题是不可能的,让计算机能解某一类问题,成为解这一类问题的专家如今却已经成为现实。这本身对数学教学有很大的意义,因为数学教学不可能教学生解天下所有问题的方法,那种方法是不存在的。数学教学也不关心只对极特殊问题有效的奇着妙法,那种方法意义不大。数学教学最关心的是那些最有广泛性的具有典型意义的常规常法,认为这无论对学生当前的教育意义,还是对他们的未来发展都是重要的。令人振奋的是现在已经可以把解某一类问题的经验和智慧赋予计算机。

  对后一个问题,现在提出来似乎还为时过早。是否可以改个提法,那就是充分发挥计算机在解题教学中的积极作用。今天,让计算机成为这方面的教学专家虽不现实,然而让计算机充当教师的助手,在数学教学及家庭辅导中发挥一定的作用,却是迫切需要研究的问题。一方面,我们课堂的解题教学并不总是很成功的;另一方面,电脑虽然已经进入家庭,却没有充分发挥其教育功能。计算机辅助教学和传统教学之间本来有很多是可以相互借鉴的。总结解题的思维规律,整理多年来教师群体在解题教学的丰富经验,对两者都是必要的。

  为什么我们说传统的解题教学并不总是成功的呢?一个重要问题就是解题的思维过程显示地不够充分。对每一个学习个体,又不可能实现及时的教学反馈。例如选择题,这或许是传统教学中最不成功的。选择题题型覆盖面广,考试能采取机器阅卷,不仅公平而且效率高,因而被广泛使用。但在教学中,它的最大问题是解这种题不要求过程,一次练习下来或千篇一律的答案(由于作弊〕而失去练习的意义,或五花八门的答案既不便于统计也不便于讲评。所以当前的教学中,师生在这方面往往作无用功,得不到预期的效果。实践表明,计算机最容易在这里发挥优势。远不需复杂的编程,就可以把教师对每个学生的不同选择答案需要作出的教学反馈装在计算机里,选择过程的不同思维过程尽可以在这里得到展现,还可以对个体或全班及时作出统计和评估。其实,计算机干这种事是很在行的。于是计算机成了教师欢迎的得力助手,能代替教师不少重复性劳动。在我们的教学中,这种形式的计算机辅助教学受到各种程度学生的欢迎,他们从教学的个别化中能及时得到详尽的帮助,过去 对选择题往往“只知其然而不知其所以然”,现在则从各种似是而非或似非而是的答案的选择过程中加深了对问题的理解。

  对于解答题,传统教学存在的一个弊病是对“解题术”给予的重视太多,而对问题求解的思维过程重视得不够,不是作为生动活泼的思维训练去教,而是作为对教师总结出的“现成的”套路去强化训练。在课堂上,玻利亚的问题解决方式并不多见。由于课堂时间不允许,加上学生的程度各异,特别是对审题,设计解题思路,反思几个环节,给予的重视不足。现在我们利用计算机把玻利亚的问题解决方式溶入其中,学生可通过菜单从提示,分析,解答,回顾几个不同的层次得到帮助,解题的思维过程展现的更清晰了。过去课堂上教师只能用一个声调对全体同学讲题,现在教师可以同时对程度各异的同学以不同的方式进行启发。教师的讲授更多为学生自己的活动所替代,教师只在必要时才提供帮助。当然,计算机总不能象真正的教师那样灵活,那样富于创造性,能够随机应变因势利导,又高度负责充满热情,然而把教师的经验与智慧溶入电脑总是有很大意义的。因为尽管教师在从事创造性的劳动,但总有相当一部分是重复性的工作,而这一部分可以考虑交给计算机。计算机永远不会成为有高度事业心和责任感的教师,但溶入教师丰富经验的计算机肯定能充当教师的不知疲倦的助手。

  传统教学另一个最大缺陷是对应用题及开放探索性问题的忽视,连续几年高考都暴露出这一部分是学生掌握最差的内容。我们指出,计算机对改善这种状况也能起一定的作用。例如应用题,由于数据不整齐,计算量较大,传统课堂难于处理。现在有了mathcad及mathematica这类数学软件,数学教学有可能把主要注意力集中在如何把实际问题转化为数学问题,至于冗长的数值计算与符号演算可在计算机上快速完成。这对处理应用题是极大的帮助。

  关于开放探索性问题,需要提供一个便于学生探试的环境,有时又需要创设富于启发性的问题情景。有了计算机情况就和传统教学大不一样了。提出同一个问题:“顺次连接四边形各边中点围成什么图形?”在计算机屏幕上显示的效果就比过去灵活的多。在“几何画板”的支持下,可以在屏幕上给出一个动态的四边形,它在运动的过程中忽而是凸四边形,忽而是凹四边形;四边中点连线组成的四边形也是不断变化的,可能是一般的平行四边形,也可能是特殊的平行四边形。在这种情景下我们可以给学生更多的思考空间,因为问题可以是非常开放的,我们可以引导学生探究怎样的条件将导致何种结论。又如正方体的截面问题,在屏幕上我们问:“设想一把无比锋利的刀,猛地朝一个正方体形的物体砍下去,截面是什么图形?”给学生留出猜测的时间之后,计算机可以用不同的速度对此给出动态模拟的图景,显示出不同形状的截面,并由此引发出一系列能激发学生兴趣的有关截面的问题。

  从以上叙述人们不难看到,计算机能给数学教学注入旺盛的活力,它正在以下一些方面改变着解题教学的现状。(1)突出学生在解题过程中的主体地位;(2)能对不同程度的学生提供不同程度的问题;(3)可以对所有学生同时提供各自需要的帮助;(4)为解决来自实际的问题扫清了冗长繁杂计算的障碍;(5)可以创设更具吸引力的数学问题情景;(6)提供了理想的探试问题求解的环境;(7)把教师群体的智慧与经验转化为一种可重复使用的教学资源;(8)把教师从低效的重复性劳动中解脱出来,而吸引他们从事更富于创造性的教学工作。展望未来,我们深信随着网络技术的发展能给问题解决以更多网上交流的机会,“教学专家”将发挥更大的作用;随着“人工智能”技术的发展,电脑将更加“聪明”,问题求解过程的人机交互将更加灵活;随着虚拟现实技术的发展,数学问题将更加密切与现实的联系,数学问题将更能激发学生的学习动机。谁都承认问题求解依赖于数学思维,但对人脑在进行数学思维时的活动机制现在还停留在猜想阶段。随着“人工智能”的深入研究,需要对数学解题思维过程的经验与规律进行总结,这反过来将促进数学教学的改革。

  4计算机对教学模式的影响

  配置了具有数学功能的教学软件之后,计算机便可以通过输出设备将数学内容按一定的结构,用文字、图像、声音、动画等形式呈现出来,它的优点是明显的:

  (1)学生的眼、耳、手、脑等感觉器官调动起来,使学习内容变得生动有趣,容易记忆、理解和掌握。

  (2)可以通过动画模拟、局部放大、过程演示等手段,将抽象问题具体化,更好地展现复杂的数学思维过程。例如函φy=Asin(ωx+φ)的图像及其与y=sinx图像的联系,异面直线之间的距离及所成角等,通过动态的展示,变得形象生动,更易接受,也增加了教学的可信度。

  (3)提高了效率,使教学过程及其内涵得到优化,由于计算机辅助手段的运用,一些图表的制作更加精确、迅速,教学容量也得以加大,同时也减轻了教师的劳动强度,可以在有限时间内取得最大的效益。

  但是,我们计算机辅助手段对数学教学的影响更主要的(也应该)表现为学生在学习中的主体地位,为学生创设一个“做”数学学问的环境和氛围,从而教师可以将更多功能探索、分析、思考的任务交给学生去完成。抽象、严谨是数学的特点之一,但仅仅让学生了解这一点,数学的面孔就显得异常严肃,使人敬而远之,对中学生而言尤其是如此,而计算机的多媒体手段可以帮助我们吸引学生参与探讨,共同展示数学问题形成、发展、解决的全过程,很大程度上弥补了传统教学手段的不足,请看下面这个问题:

  已知圆D:x2+y2-2x+4y=0,问是否存在斜率为1的直线l,使l被图D截得弦AB,以AB为直径的圆经过原点,若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由。

  这是一个探索性问题,在课堂教学过程中,我们将这一问题的分析和解决分为三个阶段。

  首先,我们直线l方程为y=a+b,让学生输入不同的b,在计算机上观察直线的变化以及以它与圆D的相交弦为直径的圆的变动情况。通过观察,学生发现,在直线上移或下移的过程中,有两个圆经过原点,从而做出判断:问题的解存,具有两解。接着,帮助学生挖掘题设条件的本质属性。从而显示屏幕上我们连结OA.OB, y<br/

  > 学生恍然大悟:条件的实质即OA⊥OB,若设A(x1,y1),

  B(x2,y2),则应有x1x2+y1y1=0,然后将这一等式利用韦达定理 A 1

  转化为关于b的方程,这样便可以得到问题的解了。最后,我

  们又提出了进一步的问题对于l不同的斜率,问题解的情况又 O 1 2 3 x

  如何?这时通过学生的操作,让屏幕上的Rt△AOB绕着点O B -1 D

  转动起来。在这动态过程中,学生看到斜边AB所在直线的斜 -2

  率也在连续变化,可以取到一切实数,即对于斜率取任何不同的 -3

  实数,问题的解总是存在的,且有两解。

  上述例子表明,计算机的应用扩展了数学实验的内容和范围,学生也切切实实像一个小数学那样参与到问题的探索解决的过程中来,从模型的建立么演绎、归纳思维的分析;从性能的预测到规律的探索,以及算法的设计、计算实验的开展和模拟仿真手段的演示等等,都可以通过这一现代化的工具来实现,尤其值得指出的是,通过数学模式的计算和模拟动态的实验,为学生探索数学问题的规律提供了方便可行的新途径,学生可以通过计算机的演示从起初的混乱状况中观察,捕获有规则的结构,这就促使并保证数学实验不仅成为数学灵感和数学发现的源泉,而且也可以成为数学研究的有效方法。

  结束语

  在就要结束本文时,我们要强调指出:无论教育技术怎样发展,数学教师都是不可替代的。不过教师在教学过程中的角色在变化,工作方式在变化。他从知识的传授者变成学生学习活动的组织者与教学情景的设计师。他从个体的手工业劳动者变成信息社会教师团队中的一员。大量的重复性工作将被更富创造性的劳动所替代。他将更方便地利用信息技术提供的教育资源,同时他又需要在此基础上进行再创造。他不但需要掌握一定的现代教育技术,而且更需要有现代的教育观念,坚实的数学功底和精湛的教育艺术。总之现代教育技术对教师提出了更高的要求。一只高素质的数学教师队伍是21世纪对数学教育的最重要的需求。

  最后我们感到,本文的题目“CAI与中学数学教育”似乎太大了。我们为自己拟了这么个大题目,许多内容却谈不到家,有些问题蜻蜓点水一带而过,有些问题还未涉及。如信息社会中网络技术对数学教育的影响,信息社会中学校的数学教育、家庭教育和社会教育的关系,信息社会中数学教育网络的构成,数学教育资源的开发管理与使用等等。这的确是篇大文章。既是大文章就要由大家作,本文仅仅作为引起讨论的引玉之砖吧!

  历史上产业革命曾把人类带进工业社会,今天的信息革命又要把人类引向何方呢?它对人们的生活、工作以及思维方式将产生怎样的影响?在未来社会中数学与数学教育将对社会及个人的发展起怎样的作用?如何在高技术的支持下改革数学教育,使之与现代社会的要求相适应?这些都是值得认真思考的问题。有一件事是意味深长的,那就是2000年这个历史性时刻被确定为“国际数学年”。这表明数学与数学教育对于未来的发展是多么重要。这是一次机遇,让我们把握住这个机遇!

  参考文献

  (1)中国数学发展的若干主攻方向 程民德 主编 江苏教育出版社

  (2)数学科学技术 经济竞争力 詹姆斯 格林姆 主编 南开大学出版社

  (3)第三种科学方法与计算数学 徐福臻

  (4)人人关心数学教育的未来 美国国家委员会 世界图书出版公司

  (5)数学与思维 徐利治 湖南教育出版社

  (6)数学与教育 丁石孙 张祖贵 湖南教育出版社

  (7)问题解决与数学教育 郑毓信 编著 江苏教育出版社

  (8)数学教育学 张奠宙 唐瑞芬 刘鸿坤 江西教育出版社

  (9)对计算机辅助数学教学的几点认识 夏炎 宗晓丰

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