一类解多年高考压轴题的方法

导数的应用试题,作为高考试题中的压轴题一般设有两问,特别是第二问常常给学生难以下手的感觉,因此不少教师在考前指导时往往要求部分学生学会放弃.笔者研究了近几年全国课标卷导数题的解法,发现试题都围绕同样的考点、同样的命题思路来命制,当然就可以用同样的方法
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  导数的应用试题,作为高考试题中的压轴题一般设有两问,特别是第二问常常给学生难以下手的感觉,因此不少教师在考前指导时往往要求部分学生学会放弃.笔者研究了近几年全国课标卷导数题的解法,发现试题都围绕同样的考点、同样的命题思路来命制,当然就可以用同样的方法来解答.现举例说明如下.
毕业论文网 /1/view-11300114.htm
  例1设函数f(x)=ex-1-x-ax2.
  (Ⅰ)若a=0,求f(x)的单调区间;
  (Ⅱ)若当x≥0时f(x)≥0,求a的取值范围.
  解析(Ⅰ)略.
  (Ⅱ)当x≥0时,f(x)≥0x≥0时,f(x)min≥0,而考察x≥0时f(x)的最小值,需要借助于f(x)的导函数f ′(x)的性质,故从分析f ′(x)的正负入手,
  因为f ′(x)=ex-1-2ax,令y1=ex,y2=2ax+1,
  函数y2的图象是过(0,1)点的直线系,
  因为y1=ex在(0,1)处的切线斜率是k=1,且在此点处的切线方程为y=x+1,故以切线为界线进行比较.
  (1)当2a≤1,即a≤12时,在x>0时y1的图象总在y2的图象的上方(图1), f ′(x)>0恒成立,f(x)是增函数,故当x≥0时,f(x)≥f(0)=0是恒成立的,符合题意.
  (2)当2a>1,即a>12时,y1的图象与y2的图象(图2)总会有交点,不妨设此交点横坐标为x0,当x∈(0,x0)时,y1的图象在y2的图像的下方,f ′(x)<0,f(x)是减函数;当x∈(x0,+∞)时,y1的图象在y2的图象的上方,f ′(x)>0,f(x)是增函数,且f(0)=0.可见这种情况下,当x≥0时,f(x)≥0不是总能成立.
  综上所得,符合题意时a的取值范围a≤12.
  例2已知函数f(x)=alnxx+1+bx,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0.(Ⅰ)求a、b的值;(Ⅱ)如果当x>0,且x≠1时,f(x)>lnxx-1+kx,求k的取值范围.
  解析(Ⅰ)(解略)a=1,b=1.
  (Ⅱ)由(Ⅰ)知f(x)=lnxx+1+1x,f(x)>lnxx-1+kx f(x)-(lnxx-1+kx)>0恒成立时求k的取值范围,与2010年题型完全相同.
  f(x)-(lnxx-1+kx)=lnxx+1+1x-(lnxx-1+kx)
  =lnxx+1-lnxx-1+1x-kx=2lnx1-x2+1-kx
  =11-x2(2lnx+(k-1)(x2-1)x).
  因为当x>0,且x≠1时,11-x2的正负容易判断,故在作差变形时提出11-x2,这样一来差值的正负取决于2lnx+(k-1)(x2-1)x的正负,故构造新函数,令
  h(x)=2lnx+(k-1)(x2-1)x
  =2lnx+(k-1)(x-1x) (x>0,x≠1),
  h′(x)=2x+(k-1)(1+1x2)=(k-1)(x2+1)+2xx2
  =k(x2+1)-(x-1)2x2.
  令y1=k(x2+1),y2=(x-1)2.
  (1)当k≤0时,y1的图象总在y2的图象的下方(图3),且x>0,x≠1时,h′(x)<0,h(x)是减函数,而h(1)=0.当x∈(0,1)时,h(x)>h(1)=0,11-x2>0,可得11-x2h(x)>0成立;当x∈(1,+∞)时,h(x)0也成立.综上k≤0符合题意.
  (2)当00,h(x)是增函数,此时h(x)>h(1)=0,11-x2<0,可得11-x2h(x)<0,与题意矛盾.
  (3)设k≥1,当x>0,且x≠1时,y1的图象总在y2的图象的上方(图5),此时h′(x)>0,h(x)是增函数,而h(1)=0,且x∈(0,1)时,h(x)0,可得11-x2h(x)<0,与题意矛盾.
  综合得,k的取值范围为x∈(-∞,0].

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