二、线性规划模型

　　线性规划是辅助人们进行科学管理的一种数学方法，在经济管理、交通运输、工农业生产等经济活动中有着广泛的应用.在高考数学试题中，有关线性规划的应用与求解是热点与难点，主要有迁移线性规划思想求函数的最值问题、通过二元一次不等式组表示的平面区域来确定实际问题的最优解等数学模型.

　　例2（20xx年全国Ⅰ卷）某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2 100元，生產一件产品B的利润为900元.该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为多少元？

　　解析设生产产品A，产品B分别为x，y件，利润之和为z元，那么，

　　1.5x+0.5y≤150，x+0.3y≤90，5x+3y≤600，x≥0，x∈N+，y≥0，y∈N+.

　　目标函数为z=2 100x+900y.作出二元一次不等式组的平面区域（如图所示），即可行域为图中的阴影部分，包括边界内的整数点，图中阴影四边形的顶点坐标分别为（60，100），（0，200），（0，0），（90，0），当直线z=2 100x+900y经过点（60，100）时，z取得最大值216 000元.

　　点评：试题以工业生产中的现实问题为载体，考查线性规划最优解的模型，侧重数学建模、分析解决问题和运算求解能力的考查，对数形结合思想和方法要求较高.

　　三、排列组合模型

　　排列组合应用问题蕴含着许多丰富的数学思想和方法.其因内容的抽象、思维的独特、解题方法的特殊性而成为高考数学科命题的一个热点和考点，若能认真理解题意，抽象出其中的数量关系，构建“排位置”“投球入盒”“抓球”“填格子”等几种数学模型来求解，则可简捷、巧妙地解决.

　　例3（20xx年全国卷）6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有种.（用数字作答）

　　解析本题属有条件的“排位置”模型，可用直接法或间接法求解.

　　思路1：先排甲、乙共有10A22=20（种）排法，再排其余的4个人，有A44=24（种）排法，据分步法原理，可知所求共有20×24=480（种）.

　　思路2：用间接法.6个人排成一行的排法总数为A66=720（种），其中甲、乙两人相邻的排法数为2A55=240（种），所以6个人排成一行，其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有720-240=480（种）.

　　点评：试题以生活中的真实情境为素材，考查考生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，解决实际问题的能力，在运算过程中应合理应用排列组合公式优化运算，引导考生关心身边的数学问题、发展数学应用意识.

　　四、立体几何模型

　　新课程标准明确指出教师可借助几何模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理.在高考中常考的模型有柱体、锥体和台体，因此，教师应灵活运用模型化，处理立体几何知识及生活中与几何图形有关的应用问题，帮助学生找到解题突破口，把问题化难为易.

　　例4（20xx年全国Ⅱ卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）.

　　A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

　　解析因为米堆为一个圆锥的四分之一，由米堆底部的弧长为8尺，可知圆锥底面圆的四分之一圆周长为8尺，从而可得米堆的底面半径R=16π尺.又圆锥的高为5尺，可算得米堆的体积为V=3203π立方尺，所以可估算出米堆约有22斛，选择B.

　　点评：试题以《九章算术》中的问题为背景，传承了中国文化，考查了考生的应用意识和数学建模思想.根据米堆形状和所给条件，建立立体几何模型，计算出堆放米的体积，着重考查考生空间想象、逻辑推理、运算、应用和估算能力，体现了新一轮高中课程改革的要求.