点评：试题以生活中的真实情境为素材，考查考生运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理，解决实际问题的能力，在运算过程中应合理应用排列组合公式优化运算，引导考生关心身边的数学问题、发展数学应用意识.

　　四、立体几何模型

　　新课程标准明确指出教师可借助几何模型，在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系基础上，抽象出空间线、面的位置关系的定义，并了解可以作为推理依据的公理和定理.在高考中常考的模型有柱体、锥体和台体，因此，教师应灵活运用模型化，处理立体几何知识及生活中与几何图形有关的应用问题，帮助学生找到解题突破口，把问题化难为易.

　　例4（20xx年全国Ⅱ卷）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧度为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有（）.

　　A.14斛B.22斛C.36斛D.66斛

　　解析因为米堆为一个圆锥的四分之一，由米堆底部的弧长为8尺，可知圆锥底面圆的四分之一圆周长为8尺，从而可得米堆的底面半径R=16π尺.又圆锥的高为5尺，可算得米堆的体积为V=3203π立方尺，所以可估算出米堆约有22斛，选择B.

　　点评：试题以《九章算术》中的问题为背景，传承了中国文化，考查了考生的应用意识和数学建模思想.根据米堆形状和所给条件，建立立体几何模型，计算出堆放米的体积，着重考查考生空间想象、逻辑推理、运算、应用和估算能力，体现了新一轮高中课程改革的要求.

　　五、概率统计模型

　　在近几年的全国和各省市高考试题中，“概率与统计”应用问题是考查的重点内容，试题非常注重理论联系生活实际，常考的数学模型有古典概率、互斥事件、条件概率、分布列、二项分布、正态分布、直方图、茎叶图、线性回归模型等等.

　　例5（20xx年全国新课标Ⅰ卷）4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）.

　　A.18B.38C.58D.78

　　解析由题意知4名同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动有24种情况，而4名同学都选周六有1种情况，4名都选周日有1种情况，故周六、日都有同学参加公益活动的概率为p=24-1-124=78，故选D.

　　点评：试题选取考生熟悉的情境，属于简单的古典概率模型问题，考查了概率的基本知识和方法，引导考生关注生活中的数学问题，增强数学应用意识.

　　例6（20xx全国新课标Ⅰ卷）某险种的基本保费为a（单位：元），继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：

　　上年度出险次数01234≥5

　　保费0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

　　设该险种一续保人一年内出险次数与相应概率如下：

　　一年内出险次数01234≥5

　　概率0.300.150.200.200.100.05

　　（1）求一续保人本年度的保费高于基本保费的概率；

　　（2）若一续保人本年度的保费高于基本保费，求其保费比基本保费高出60%的概率；

　　（3）求续保人本年度的平均保费与基本保费的比值

　　解析（1）设A表示事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费”，则事件A发生当且仅当一年内出险次数大于1，故P（A）=0.2+0.2+0.1+0.05=0.55.

　　（2）设B表示事件：“一续保人本年度的保费比基本保费高出60%”，则事件B发生当且仅当一年内出险次数大于3，故P（B）=0.1+0.05=0.15.

　　又P（AB）=P（B），

　　故P（B|A）=P（AB）P（A）=P（B）P（A）=0.150.55=311，

　　因此，所求概率为311.

　　（3）记续保人本年度的保费为X，则X的分布列为：

　　X0.85aa1.25a1.5a1.75a2a

　　P0.300.150.200.200.100.05

　　EX=0.85a×0.30+a×0.15+1.25a×0.20+1.5a×0.20+1.75a×0.10+2a×0.05=1.23a，

　　所以續保人本年度的平均保费与基本保费的比值为1.23.

　　点评：试题考查互斥事件、条件概率、分布列等模型，通过概率、数学期望的计算考查运算求解能力，通过随机变量的分布列考查数据处理能力，利用贴近生活的实际问题考查分析问题、解决问题的能力、应用意识和数学建模思想方法.