导数在经济中应用的论文(第2页)
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类似可定义其它概念,如边际收入,边际产量,边际利润,边际销量等等。
经济活动的目的,除了考虑社会效益,对于一个具体的公司,决策者更多的是考虑经营的成果,如何降低成本,提高利润等问题。
例1某种产品的总成本C(万元)与产量q(万件)之间的函数关系式(即总成本函数)为
C=C(q)=100+4q-0.2q2+0.01q3
求生产水平为q=10(万件)时的平均成本和边际成本,并从降低成本角度看,继续提高产量是否合适?
解当q=10时的总成本为
C(10)=100+4×10-0.2×102+0.01×103=130(万元)
所以平均成本(单位成本)为C(10)÷10=130÷10=13(元/件)
边际成本MC=C′(q)=4-0.4q+0.03q2
MC│q=10=4-0.4×10+0.03×102=3(元/件)
因此在生产水平为10万件时,每增加一个产品总成本增加3元,远低于当前的单位成本,从降低成本角度看,应该继续提高产量。
例2某公司总利润L(万元)与日产量q(吨)之间的函数关系式(即利润函数)为L=L(q)=2q-0.005q2-150
试求每天生产150吨,200吨,350吨时的边际利润,并说明经济含义。
解边际利润ML=L′(q)=2-0.01q
ML│q=150=2-0.01×150=0.5;
ML│q=200=2-0.01×200=0;
ML│q=350=2-0.01×350=-1.5
从上面的结果表明,当日产量在150吨时,每天增加1吨产量可增加总利润0.5万元;当日产量在200吨时,再增加产量,总利润已经不会增加;而当日产量在350吨时,每天产量再增加1吨反而使总利润减少1.5万元,由此可见,该公司应该把日产量定在200吨,此时的总利润最大为:L(25)=2×200-0.005×2002-150=50(万元)
从上例可以发现,公司获利最大的时候,边际利润为零。
例3某公司生产某产品的成本函数和收入函数依次为,C(q)=3000+200q+(1/5)q2,R(q)=350q+(1/20)q2,其中q为产品的月产量,每月的产品均能全部销完,求利润最大的月产量应为多少?
解L(q)=R(q)-C(q)
=350q+(1/20)q2-3000-200q-(1/5)q2
=150q+(3/20)q2-3000(q>0)
L′(q)=150-(3/10)q
令L′(q)=0,得q=500
列表考查
由表格可以看出在(0,+∞)内只有一个极大值点,且L(q)是一个二次函数,根据生活中的实际规律可得,它就是最大值点。
所以,当月产量为500生产单位时,利润最大。
从上例我们可以证明,利润最大的必要条件是边际收入等于边际成本。
即由L′(q)=0,且L(q)-C(q)
得L′(q)=R′(q)-C′(q)=0,即R′(q)=C′(q),
MR=MC
例4某企业生产过程中需使用某种原材料。到外地采购一次这种原材料,要开销采购人员的工资、旅差费、手续费、运输费、检验费等,但每次采购的总的采购费用基本相同。原材料被采购回来后,除了被使用外,存放在仓库里,要开销保管费用,保管费用通常是采购批量、采购价格、保管费率三者乘积的一半,试求总费用最小的采购批量。
解设每年使用原材料的总量为Q,每次采购的批量为q,每次采购费用为k,则年采购次数为(Q/q),每年的采购费用为(Q/q)×k。
又设该原材料的价格为p,保管费率是i,则库存费用为(1/2)·q·p·i,因此总费用为
C(q)=(Q/q)·k+(1/2)·q·p·i
求导得C′(q)=-(Q/q)·k+(1/2)p·i,令C′(q)=0,得。
这是所求的唯一值,根据生活的实际情况定有最小值,这唯一的点就是最小值点,所以当每次采购批量为时,总费用最小。
上例的结果,是理想化的瞬时送货的最佳库存模型,这个模型被广泛地应用于生产实际。
下面我们看实际的例子。
例5某企业生产使用某原材料100吨/年,每次采购的费用是1000元,每吨原材料的年库存费(材料价格与保管费率之积)为500元,如果材料消耗是均匀的,问应分几批采购,使总费用最小?
解设每次采购原材料q吨,则总费用为
C(q)=(100/q)·1000+(1/2)·q·500
C′(q)=-(100000/q2)+(1/2)500
令C′(q)=0,得(吨)
所以q=20当时,即每年分(100/20)=5(次)时,总费用最小。
以上本人就导数在微观经济学中的边际问题进行了讨论,导数在经济学中的应用颇为广泛,不仅此而已。从上面的例子可以看出,导数对于在经济学中边际问题的分析尤为重要,通过边际问题的分析,对于企业的决策者作出正确的决策起了十分重要的作用!


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