令人费解的是，证明地球上四色定理，困难多了。现有的证明，需要计算机的帮助，与传统的证明不同。而我们觉得最简单的情况，即我们住的地球球面上的着色问题反而特别复杂。把扩充的问题解决了，得到了很有意思的结论。但是回到基本问题，反而更难。这种现象不止这一个，还有很多，一个例子是所谓的低维拓扑，即推广的问题更简单，而本身核心的问题反而不易克服，这确是数学神秘性的一面。

　　3.椭圆曲线

　　最近的数学进展，最受人注意的结果就是Fermat大定理的证明。Fermat大定理说：方程式xn+yn=zn ,n>2没有非平凡的整数解(即xyz≠0)。这个传说了300年的结果的证明，最近由 Princeton大学的教授Andrew J.Wiles(英国数学家)给出。但证明中缺一段，是由他的学生Richard Tarlor补充的。因此，Fermat定理现在已经有了一个完全的证明。整个文章发表在最近一期的“Annals of Mathematics"(Prinston大学杂志，1996，第一期)整个一期登的是Wiles与Taylor的论文，证明Fermat定理 (Wiles 为此同Robert Langlands 获得了1996年的Wolf奖与National Academy Science Award in Mathematics)。

　　有意思的是，证明这个定理的关键是椭圆曲线。这是代数数论的一个分支。有以下一则 故事。英国的大数学家G.H.Hardy(1877-1947)有一天去医院探望他的朋友，印度天才数学家S.A.Ramanujan(1887-1920).Hardy 的汽车号是1729。他向 Ramanujan说，这个数目没有意思。Ramanujan说，不然，这是可以用两种不同方法写为2个立方之和的最小的数，如1729=13+123=93+103。这结果可用椭圆曲线论来证明。我们知道，要找一个一般方程的解不容易的，而要找一个系数为整数的多项式方程P(x,y)=0(传统上叫Diophantine方程)的整数解更困难。因为普通的解不会是整数，这是数论中的一个主要问题。

　　需要说明的，在Wiles完成这个证明之前，我有一位在Berkley的朋友Kenneth A.Ribet，他有重要的贡献。他证明了一日本数学家Yutaka Taniyama的某一个关于椭圆曲线的假设包含Fermat定理。于是可将Fermat定理变为一个关于椭圆曲线的定理。Wiles根据Ribet的结果又继续经过了许多步骤，以至达到最后的证明。即在复平面内得到曲线。由复变函数论知道，复平面内的曲线就成为一个Riemann曲面。Riemann曲面为定向曲面，它可以是球，也可以是球加上好多把手。其中有一个最简单的情形，就是一个球加上一个把手，即一个环面。环面是个群，且为可交换群。所谓椭圆曲线，就是把这个曲线看成复平面内亏格(genus)等于1的复曲线。亏格等于1的曲线有一个非常深刻而巧妙的性质。即它上面的点有一个可交换群的构造。两个点可以加起来，且有群的性质。这是很重要的性质。椭圆曲线与椭圆无关。原因是，若所有曲线的亏格大于1，相当于Riemann曲面有一个Poincare度量，它的曲率等于1，所有曲面若其曲率等于—1，则叫做双曲的。亏格等于1的叫椭圆。亏格等于0的叫抛物线。椭圆曲线的研究是数论中非常重要，非常有意思的方面。最近一期的科学杂志(Science)，有位先生写了一篇关于椭圆曲线的文章。椭圆曲线在电报的密码上有应用。而中国也有很多人在做代数几何与代数数论方面的工作。最近在黄山有一个国际性的，题为“代数几何与代数数论”的会议，由冯克勤先生主持。

　　从这个定理我们应认识到：高深的数学是必要的。Fermat定理的结论虽然简单，但它蕴藏着许多数学的关系，远远超出结论中的数学观念。这些关系日新月异，十分神妙，学问之奥，令人拜赏。我相信，Fermat定理不能用初等方法证明，这种努力是徒劳的。数学是一个整体，一定要吸取几千年所有的进步。

　　4.拓扑与量子场论

　　1995年初的一天晚上，我在家看晚间电视新闻。突然，我听到自己的名字，大吃一惊。 原来加利福尼亚发一种，头彩300万美元，若无人中彩的话，可以积累到下一次抽彩。我从前的一个学生，名Robert Uomini，中了头彩美金2200万元。他曾选过我的本科课，当时还对微分几何很有兴趣。他很念旧，以100万美元捐赠加州大学，设立“陈省身讲座”。学校决定，以此讲座邀请名学者为访问教授。第一位应邀的为英国数学家Sir Michael Atiyah。他到中国不止一次。他是英国影响最大的数学家，剑桥大学三一学院的院长，则卸任的英国皇家协会会长。Atiyah很会讲学，也很博学，他的报告有很大的吸引力。他作了八讲，讲题是“拓扑与量子场论”。