到了本世纪三十年代，这四种彼此独立、不同的关于数学基础的方法已形成并相互对峙，人们再也不能说某一个数学定理已证明了，这时还必须加上是依哪个标准它才是被证实了。人们不禁要问这些数学是相容的吗？除了直觉主义认为人的直觉能保证相容性外，这个问题对于数学和科学来说，变得越来越重要和严峻。然而1931年著名数学家哥德尔得出了震惊世界的两个结论，其中对于数学基础问题研究具有毁灭性的结论是：任何数学系统，只要它能包含整数的算术，其相容性就不可能通过这几个基础学派（逻辑主义、形式主义和集合论公理化学派）采用的逻辑原理而建立。另一个结论也可称作“哥德尔不完备性定理”，它断言：不仅数学的全部，甚至任何一个系统，都不可能用类似哥德尔使用的能算术化的数学和逻辑公理系统加以概括，因为任何这样的公理系统都是不完备的。哥德尔的结论实际上表明，我们使用的任何数学方法都不可能借助于安全的逻辑原理来证实其相容性，亦即表明数学结果的绝对确定性和有效性已丧失。从更深刻的意义上说，歌德尔不完备性定理是对排中律的否定；即有些命题既不能被证明，也不能被证伪，而又有意义。

　　3、数学的有效性

　　现在数学已发展这样一个阶段，逻辑主义、直觉主义、形式主义和集合论公理化主义，它们都有着某种不同的哲学基础，而难以形成某种共同的基础。而这似乎意味着这样一个事实：并不是只有一种而是有多种数学；亦即数学并不是一个独一无二的、严格的逻辑结构；它也许是一个人造体系，是一系列经过逻辑筛选、抽象和组织、是某种人所公认的非凡的直觉；这些直觉是我们的感觉器官、大脑和外部世界相结合的产物。任何一种数学或其分支都只是提供了某种可用的理论，根本意义上说数学也是一门自然科学，任何为其寻求绝对基础的企图是注定要失败的。

　　当然，自然科学发展的历史也表明，与任何其它实验科学相比，数学作为一种精确而有效的思维方法，相对来说是最为广泛和深刻、有效的；其作用也更为基本、更为重要。例如，在其它科学的历史发展中，都曾经发生过若干次根本性的变化，而在数学中，大部分逻辑和经典分析已使用了许多世纪（虽理论上存在某些深刻的问题），现在仍然还适用。从这个意义上说，数学又的确不同于其它科学，我们可以把它称为准经验知识。

　　数学在自然科学的应用中为什么能得出非凡的实际结论？为什么那些长而复杂的纯推理过程（纯推理是独立于经验的）能产生意想不到而又准确的结论？现在并没有令人满意的解释。一种解释是，人类试图从复杂的自然现象中猜想（提炼）出某些简单的系统，其性质能用数学来描述，正是人类这种抽象化能力产生了对自然令人惊异的数学描述。我们也必须清醒地看到，这种成功是有条件限制的，例如，数学成功的领域主要是物理世界或无生命的物质，其方法论是把物理世界用长度、质量、重量和时间等简单概念来刻画，也许由于其行为是可重复的，因而用数学描述是有效的。另一方面，其代价是牺牲自然世界的丰富性；数学只能是描述了自然某些简单化了的方面和过程，决不是全部。另外，在政治学、社会学、心理学、经济学和生物学等领域，数学的有效性就非常不明显了，这自然是由于研究对象的不同性质和复杂性所决定的。

　　如何认识数学的真理性问题，如何看待数学在自然科学中的有效性问题，如何理解数学在社会科学等领域中的作用问题，等等；这类的问题大都属于哲学的范畴；虽然实难形成确定性结论，但通过学习和思考得到的有关认识，对于我们学习和认识西方经济学是十分有益的，能使我们的看法更加深刻起来。

　　二、经济学中数学应用意义的初步思考

　　西方经济学从亚当·斯密《国富论》起的二百多年来，已形成了一个庞大而较严密的理论体系。在整个社会科学中，经济学的理论形式、研究方法是公认为最接近自然科学的。我认为这实际上表明，数学作为一种理论信念、方法论和研究手段，十分明显地体现在西方经济学的基本特征中。下面具体展开谈一谈。

　　1、经济学能成为一门科学吗？

　　提出这个问题至少有两个层次的含义：一是经济学和一般自然科学的研究对象有根本差别吗？二是西方经济学是如何具体进行科学研究的？从方法论的角度看，某些自然科学成功发展的历史似乎明确告诉人们，一门学科要想成为一门科学，起码要解决两个基本问题：一是要有坚强的科学信念，即坚信其理论研究对象的客观性或研究对象客观规律性；二是数学方法要成为研究的主要方法；这两个问题实际上是不可分离的。众所周知，经济学是研究关于人类行为的学科，而人类行为是很难简单看作是客观的。因此，西方经济学首先要解决其研究对象的客观性问题。