2009年高考数学创新型试题之六大看点

2009年是我省新一轮课改的第一届高考。由于新课程中新增了许多知识,如推理与证明,算法,定积分等内容,以致许多创新型试题层出不穷。虽然09年的高考已经尘埃落定,但它给我们的启示却刚刚开始。纵观今年我省各市的质检卷以及其它省市的高考数学试卷,不难发现“稳中求变、
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  2009年是我省新一轮课改的第一届高考。由于新课程中新增了许多知识,如推理与证明,算法,定积分等内容,以致许多创新型试题层出不穷。虽然09年的高考已经尘埃落定,但它给我们的启示却刚刚开始。纵观今年我省各市的质检卷以及其它省市的高考数学试卷,不难发现“稳中求变、改革创新”的主题得到充分的体现,诸多创新试题无论是形式上,还是在内容上,均有耳目一新的感觉,加之新的知识内容渗透更增添了一道亮丽的风景线。数学创新试题相比于传统试题来说,具有以下鲜明的特点:背景新颖,内涵深刻,设问方式灵活,是考查学生创新意识和创新能力的有效题型。本文就创新试题的几种题型做个归纳分析供同行们参考。??
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  看点1――新定义型试题??
  新型定义型试题内容丰富、形式多样、特征鲜明,而试题本身又超越常规,要求考生在短时间内理解试题所给的新型定义,进而解决问题的一种题型,近年来高考中屡见不鲜,充分体现考查考生知识运用能力,适移能力等,立足考查“能力立意”的指导思想。??
  例1(2009年三明市质检理10) 如果两个位数相同的自然数恰好只有某一数位上的数字不相同,则称这两个数为相邻数,例如:123与103、5555与5565分别是两个相邻数,若集合A中的元素均为两位数,且任意两个数都不是相邻数,则A中的元素最多有( )??
   A.8个B.9个C.11个D.12个??
  解析:如{12,34,56,78,90,21,43,65,87}共9个元素。??
  评析:本题主要考查阅读与理解、信息迁移以及学生的学习潜力,考查学生分析问题和解决问题的能力,属于新定义型试题。??
  看点2――能力探究型试题??
  能力探究型试题是高考数学试题中的难点,由于命题者寄望于此类试题能凸显考生的应变能力、思维能力和创新意识,因而往往试题自由度较大,体现新课程改革创新的精神。??
  例2(2009年福建文16)五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数为1,第二位同学首次报出的数也为1,之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和;②若报出的是为3的倍数,则报该数的同学需拍手一次当第30个数被报出时,五位同学拍手的总次数为 7。 ??
  评析:此题如果从“推理与证明”角度分析可得规律:每四个数就有一个是3的倍数,然后做出不完全归纳,可得答案。而从数列角度分析得到的数列即是斐波那契数列。寻找规律是解决问题的根本,否则,费时费力。首先求出这个数列的每一项除以3所得余数的变化规律,再求所求的比较简单了,从此题可以看出,考查学生运用已知知识探究问题的能力。??
  看点3――类比推理型试题??
  类比归纳型试题考查学生类比推进能力,试题中往往给出一个已知的数学命题或数学背景,期望考生从中提取有用信息,通过类比归纳、合情推理,获得新发现,寻找新规律。??
  由以上等式推测到一个一般的结论:??
  对于n∈N??*,C??1????4n+1+C??5????4n+1+C??9????4n+1+…+C4n+1????4n+1= . ??
  答案:24n-1+-1??n22n-1??
  评析:这是一种需类比推理方法破解的问题,解答本例的关键,是要从一些特殊的式子中寻找系数规律,从不变中找变化和规律进行类比、归纳、推理。此题结论由二项构成,第二项前有(-1)??n,二项指数分别为24n-1,22n-1因此对于n∈N????,C??1????4n+1+C??5????4n+1+C??9????4n+1+…+C4n+1????4n+1=24n-1+-1??n22n-1.??
  看点4――图形信息型试题??
  图形信息型试题是09年较为新颖的试题,尤其引入算法等新知识后,更以其特有的图形、数据来考查学生观察问题、收集数据、整理信息、抽象概括、转化化归的能力。??
  例4(2009年浙江理17)如图,在长方形ABCD中,AB=2,BC=1,E为DC的中点,F为线段EC(端点除外)上一动点,现将ΔAFD沿AF折起,使平面AFD⊥平面ABC,在平面ABD内过点D作DK⊥AB,K为垂足,设AK=t,则t的取值范围是 .??
  解析:(运用极端思想)F位于E处时,AK最大;F位于C处时,AK最小;由图易知:(AK)???┆?max??=1,(AK)???┆?min??=12,故AK∈(12,1)??
  看点5――实际应用型试题??
  新课程理念之一,即数学需生活化。因此,高考试卷中与数学知识结合的实际应用型试题近年越来越多的出现,试题命题以社会生活热点为背景,诸如环保、科技型等,考查学生的阅读能力、信息提取、数型结合等能力。??
  例6(2009年广东理17)根据空气质量指数API(为整数)的不同,可将空气质量分级如下表:对某城市一年(365天)的空气质量进行监测,获得的API数据按照区间(0,50],(50,100],(100,150],(150,200],(200,250],(250,300]进行分组,得到频率分布直方图如图5 (5??7=78125,73×5=365)(1)求直方图中x的值;(2)计算一年屮空气质量分别为良和轻微污染的天数;(3)求该城市某一周至少有2天的空气质量为良或轻微污染的概率. 评析:本题以表格、图形的形式将问题呈现在考生面前,内容新颖符合时代特征,要求考生迅速根据特征找出数量之间的规律,获取有用信息,抓住问题本质,形成统计结论,主要考查考生阅读理解能力,获取信息和处理信息有能力。因此,要求我们教师在复习高三实际应用型知识时需要有的放矢,与时代相结合。近年环保型实际问题备受高考青睐,而且与概率知识的结合也是一种创新的考点。通过直方图和独立重复试验作为考点,把概率基础知识与生活热点问题紧密结合,凸显数学是来自生活的,数学是有用的。??
  看点6――综合知识型试题??
  综合知识型题往往易区分能力层次,而且带有创新的综合型试题也是教师课后研究的优良素材。??
  例7(2009年龙岩市单科质检卷理19)已知抛物线C:y??2=2px(p>0)上横坐标为4的点到焦点的距离为5.??
  (Ⅰ)求抛物线C的方程;??
  (Ⅱ)设A(x??1,y??1),B(x??2y??2)是抛物线C上任意两点,且y??1-y??2=a(a>0,且a为常数)过弦AB的中点M作垂直于y轴的直线交抛物线于点D,连结AD,BD得到ΔABD,求证:ΔABD的面积为定值;??
  (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,分别过弦AD,BD的中点作垂直于y轴的直线依次交抛物线于点E,F,连结AE,DE和BF,DF得到ΔADE和BDF,并按此方法继续下去. 若设a??1=S???│?ABD,a??2=S???│?ADE+S???│?BDF,...a??n是第n次操作时得到的2n-1个三角形面积的和,记S??n=a??1+a??2+???+a??n, 求证:S??n  解析:参考答案是从数列角度进行证明。(略)??
  评析:第一次见到此题我顿时眼前一亮。因为我们常见的是导数与数列的结合而解几与数列的结合实在是太难了。此题结合的如此和谐可见命题者的一番苦心。另一方面,第(Ⅲ)问中在证明上可从数列角度求解,但用心的人一经分析发现可以从几何方法入手,辅以代数定积分(新增内容)相结合,这又是一大亮点;前者有代数的严谨,后者有几何的轻盈;可谓具有创新意识的一道综合试题。像这样题目还有很多,诸如:09年福建省质检理20的“λ-伴随切线”,09年海南宁夏理21,09年湖北理21等等。作为我们一线教师,对此类综合知识型试题需要更多一份思考,站在系统的高度来教学,复习才更有收获。??
   总之,创新意识在高考卷中常呈现于一道新颖的试题,它需要对新颖的信息、情景与设问,选择有效的方法和手段分析信息,综合情景与设问,选择有效的方法和手段分析信息,综合与灵活应用数学知识、思想与方法;另一方面,提高创新思维能力,创新思维的训练,创新意识的激发,创新能力的培养,是新课程改革和素质教育中最具活力的课题。这也启发我们一线教师在评讲此类题目时不能就题讲题,我认为留给学生的应该是方法,是思维的过程。

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