以退为进柳暗花明

含参不等式恒成立与函数零点问题是近几年高考的热点问题,解决含参不等式恒成立问题的思路一:将不等式问题转化为求最值问题.但有时会遇到最大值最小值点不好求的情况,导致无法求出最值或极值.思路二:分离参数,再求函数的最值.有时也会遇到参数不好分离或者最值不好
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  含参不等式恒成立与函数零点问题是近几年高考的热点问题,解决含参不等式恒成立问题的思路一:将不等式问题转化为求最值问题.但有时会遇到最大值最小值点不好求的情况,导致无法求出最值或极值.思路二:分离参数,再求函数的最值.有时也会遇到参数不好分离或者最值不好求的情况.解决函数零点问题通常是直接求函数图象与x轴的交点或者转化为求方程的根,往往无法直接求出.如何解决此类问题,笔者以2015山东文科卷第20题为线索,展开对此类问题的探究,谈谈解决此类问题的策略――以退为进.
毕业论文网 /1/view-11300107.htm
  策略一:以退为进设而不求
  例1[K](2015年山东)设函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)=[SX(]x2ex[SX)],已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x-y=0平行.
  (1)求a的值;
  (2)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;
  (3)设函数m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.
  分析第三问,求函数m(x)的最大值,首先要求出分段函数m(x)的解析式,再求出分段函数每段的最大值.求分段函数的解析式,前提要求出f(x)=g(x)的解,用高中知识很难求出此解.至此,解题遇到阻力.退一步,是不是一定要求出方程的根?能否将此根设出而不求出来,确定其范围,从而问题得以解决.
  解(1)a=1.(2) 解略.
  (3)由(2)知,方程f(x)=g(x)在(1,2)内存在唯一的根x0,
  且x∈(0,x0)时,f(x)g(x).
  m(x)=[JB({](x+1)lnx,x∈(0,x0),[SX(]x2ex[SX)],x∈(x0,+∞).[JB)]
  当x∈(0,x0)时,若x∈(0,1],m(x)≤0;
  若x∈(1,x0),由m′(x)=lnx+[SX(]1x[SX)]+1>0,
  可知0  x∈(x0,+∞)时,m′(x)=[SX(]x(2-x)ex[SX)],
  可得x∈(x0,2)时,m′(x)>0,m(x)单调递增;
  x∈(2,+∞)时,m′(x)<0,m(x)单调递减.
  可知m(x)≤m(2)=[SX(]4e2[SX)],m(x0)  综上可得函数m(x)的最大值为[SX(]4e2[SX)].
  策略二:以退为进曲径通幽
  例2[K](2015年全国卷Ⅰ文科)设函数f(x)=e2x-alnx.
  (Ⅰ)讨论f(x)的导函数f ′(x)的零点的个数;
  (Ⅱ)证明:当a>0时f(x)≥2a+aln[SX(]2a[SX)].
  分析f(x)≥2a+aln[SX(]2a[SX)]恒成立可以转化成求函数f(x)最小值.方程f ′(x)=2e2x-[SX(]ax[SX)]=0的根无法求,导致函数f(x)的最小值无法求出,解题受阻.退一步,是否一定要求出最小值?能否通过说明最小值大于零进而得到函数f(x)>0恒成立呢?曲径通幽,解决问题.
  解析(Ⅰ)略.
  (Ⅱ)设2e2x-[SX(]ax[SX)]=0的解为x0,即e2x0-[SX(]ax0[SX)]=0.
  x∈(0,x0),f ′(x)<0,f(x)单调递减;
  x∈(x0,+∞),f ′(x)>0,f(x)单调递增.
  故f(x0)为函数f(x)的最小值.
  f(x0)=e2x0-alnx0=[SX(]ax0[SX)]+2a0+aln[SX(]2a[SX)]
  =2a+2aln[SX(]2a[SX)].
  故当a>0,f(x)>2a+aln[SX(]2a[SX)].
  策略三:以退为进回归本质
  例3[K](2012年全国文科)已知函数f(x)=[SX(]13[SX)]x3+x2+ax.
  (1)讨论f(x)的单调性;
  (2)设f(x)有两个极值点x1,x2,若过两点(x1,f(x1)),(x2,f(x2))的直线l与x轴的交点在曲线y=f(x)上,求a的值.
  分析此题第二问常规思路:先求出两个极值点,再求出直线l的方程从而求出直线l与x轴的交点.f ′(x)=x2+2x+a,两个极值点x1,x2=-1±[KF(]1-a[KF)],最大值和最小值点的坐标将非常复杂,根据两点坐标求得直线l的方程将更加复杂,学生很难有信心再继续进行,解题受挫,无法继续进行.退一步,回归问题本质,此题关键是求出直线l的方程,能否找到不求极值点直接求出直线方程的方法?
  解析(1)略.
  (2)f ′(x)=x2+2x+a,
  x21+2x1+a=0,x22+2x2+a=0.
  f(x1)[WB]=[SX(]13[SX)]x31+x21+ax1
  =[SX(]13[SX)]x1(-2x1-a)+x21+ax1
  [DW]=[SX(]13[SX)]x21+[SX(]23[SX)]ax1
  =[SX(]23[SX)](a-1)x1-[SX(]13[SX)]a,
  同理f(x2)=[SX(]23[SX)](a-1)x2-[SX(]13[SX)]a.   所以直线l过点(x1,f(x1)),(x2,f(x2)),
  得直线l的方程为y=[SX(]23[SX)](a-1)x-[SX(]13[SX)]a,
  直线与x轴的交点为([SX(]a2(a-1)[SX)],0)得
  [SX(]13[SX)][[SX(]a2(a-1)[SX)]]3+[[SX(]a2(a-1)[SX)]]2+a[[SX(]a2(a-1)[SX)]]=0,
  得a=0,[SX(]23[SX)],[SX(]34[SX)].
  策略四:以退为进另辟蹊径
  例4[K](2014年广东省韶关市二模)已知函数f(x)=ln(x+[SX(]1a[SX)])-ax,其中a∈[WZ]R[WBX],a≠0.
  (1)讨论f(x)的单调性;
  (2)若不等式f(x)  (3)若方程f(x)=0存在两个异号实根x1,x2,求证:x1+x2>0.
  分析(1)(2)略.
  (3)欲证明x1+x2>0,首先想到韦达定理,但函数不是二次函数,无法使用.也可以通过求出方程的根,超越方程且含参数,求方程的根显然难度太大.能否退一步,另辟蹊径?
  解析(3)方程f(x)=0存在两个异号实根x1,x2,
  f ′(x)=[SX(]1x+[SX(]1a[SX)][SX)]-a=-[SX(]axax+1[SX)].
  当a<0时,f ′(x)>0,函数f(x)单调递增,方程不可能有[J1.45mm]两个实根.所以a>0.
  不妨设-[SX(]1a[SX)]  构造函数g(x)=ln(x+[SX(]1a[SX)])-ln(x-[SX(]1a[SX)])-2ax,
  g ′(x)=[SX(]1x+[SX(]1a[SX)][SX)]-[SX(]1x-[SX(]1a[SX)][SX)]=[SX(]2a3x21-a2x2[SX)]>0,
  函数g(x)在(0,[SX(]1a[SX)])上为增函数,所以g(x)>g(0)=0,即f(x)>f(-x)在(0,[SX(]1a[SX)])上恒成立.
  所以f(x2)>f(-x2)<0,即f(x1)  得x1>-x2,即x1+x2>0.
  策略五:以退为进化归前行
  例5[K](2015年湖北省七市联考试卷)已知函数f(x)=2lnx-x2+ax (a∈[WZ]R[WBX]).
  (1)当a=2时,求f(x)的图象在x=1的处的切线方程;
  (2)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0)B(x2,0) (0  求证:f ′([SX(]x1+x22[SX)])<0 (其中f ′(x)为f(x)的导函数).
  分析(1)略.
  (2)证明f ′([SX(]x1+x22[SX)])<0,先求出[SX(]x1+x22[SX)],需要求出函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0).利用高中知识求方程2lnx-x2+ax=0的根无法进行,解题受阻.退一步,能否不求方程的根,将问题转化,化归前行?
  解析2lnx1-x21+ax1=0,2lnx2-x22+ax2=0,
  两式相减得a=(x1+x2)-[SX(]2(lnx1-lnx2)x1-x2[SX)].
  f ′(x)=[SX(]2x[SX)]-2x+a
  f ′([SX(]x1+x22[SX)])=[SX(]4x1+x2[SX)]-(x1+x2)+(x1+x2)-[SX(]2(lnx1-lnx2)x1-x2[SX)]
  =[SX(]4x1+x2[SX)]-[SX(]2(lnx1-lnx2)x1-x2[SX)].
  只需要证[SX(]4x1+x2[SX)]-[SX(]2(lnx1-lnx2)x1-x2[SX)]<0
  [SX(]4(x1-x2)x1+x2[SX)]-(lnx1-lnx2)<0
  [SX(]4([SX(]x1x2[SX)]-1)[SX(]x1x2[SX)]+1[SX)]-ln[SX(]x1x2[SX)]<0.
  令[SX(]x1x2[SX)]=t (0  设u(t)=[SX(]4(t-1)t+1[SX)]-lnt,
  u′(t)=[SX(](t-1)2t(t+1)2[SX)]>0,
  所以函数u(t)在(0,1)上为增函数,u(t)  古代兵书中的三十六计最后一计“走为上计”即欲进先退,数学解题中“走”有时也不失为“上策”.不少数学题若强行推进“则举步维艰”,但若“后退一步”,可能就是海阔天空.给思维留下广阔的回旋空间,对问题的思考常可峰回路转,让思维活动能左右逢源,打开了解题的通道.所以我们在解题中如果遇到困难,不妨主动地心平气和地先退回来,退到哪里去?退到基础的地方去,推导问题的本质上去.如退到定义、公式或简单情况等处去,改变自己的思维方向,以退为进,柳暗花明.
  [BP(]相关练习
  1(2013年全国新课标卷)已知函数 .
  (1)设 是 的极值点,求 ,并讨论 的单调性;
  (2)当 时,证明 .
  2(2015安徽明校冲刺卷)已知函数
  (1)当 时,求 的单调区间;
  (2)若函数 的图像与 轴有两个不同的交点 ,
  求证:
  3已知函数 的图象在点 (e为自然对数的底数)处的切线斜率为3.
  (1)求实数 的值;
  (2)若 k∈Z,且 对任意 恒成立,求 的最大值.[BP)]

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