一道2015年福建高考选择题的多种解法

高三年总复习开始,考试就变得更频繁,试卷讲评也就随之更多,所以试卷讲评课也就成为高三年复习阶段的一种常见课型.如何对一道典型的试题,从多角度进行剖析、讲解,培养学生的发散思维是数学试卷讲评课期望达到的教学目标之一.本文以一道2015年福建高考选择题为例,
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  高三年总复习开始,考试就变得更频繁,试卷讲评也就随之更多,所以试卷讲评课也就成为高三年复习阶段的一种常见课型.如何对一道典型的试题,从多角度进行剖析、讲解,培养学生的发散思维是数学试卷讲评课期望达到的教学目标之一.本文以一道2015年福建高考选择题为例,针对试题的多种解法进行讲评,旨在帮助学生拓展思维,提高分析问题和解决问题的能力.
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  一、试题呈现
  若定义在[WZ]R[WBX]上的函数f(x)满足f(0)=-1,其导函数f ′(x)满足f ′(x)>k>1,则下列结论中一定错误的是
  A.f([SX(]1k[SX)])<[SX(]1k[SX)][WB]B.f([SX(]1k[SX)])<[SX(]1k-1[SX)]
  C.f([SX(]1k-1[SX)])<[SX(]1k-1[SX)][DW]D.f([SX(]1k-1[SX)])>[SX(]kk-1[SX)]
  二、试题分析
  1.试题主要考查抽象函数、导数的几何意义、函数的单调性、不等式、简易逻辑等知识,体现了压轴题的特点即在知识的交汇点处设计试题,使其具有一定的综合性,从而有利于甄别不同思维层次考生,有利于高校选拔人才;
  2.试题表述简洁,体现了数学的简洁美.考生阅读后,可以有更多的时间思考如何入题,与全国课标卷试题的特点相吻合;
  3.试题的思维含量高,数学味道浓厚,体现了“多考点想,少考点算”的命题理念;
  4.试题蕴涵丰富的数学思想方法,如一般与特殊,数形结合、转化与化归、换元法等数学思想方法;
  5.试题的入口较宽,给考生提供广阔的思维空间,体现试题的公平性原则.
  三、试题讲解
  一道试题常常触及的是某个知识点的部分内容或不同知识的同一个方面,使得学生的解题思路常不尽相同.通过一题多解进行讲解,可把相互关联的知识进行有机整合,以点带面,形成一张经纬交织、融会贯通的知识网络,有利于学生全面、完整地理解知识间的联系,形成新的认知结构.
  [K]1.直接求解
  利用题设的已知条件,通过演绎推理,证明某个结论是错的,从而选出正确选项.设函数g(x)=f(x)-kx(k>1),则g ′(x)=f ′(x)-k>0,所以函数g(x)在[WZ]R[WBX]上单调递增.令x=[SX(]1k-1[SX)]>0,则g([SX(]1k-1[SX)])>g(0),所以f([SX(]1k-1[SX)])-k?[SX(]1k-1[SX)]>-1,整理得f([SX(]1k-1[SX)])>[SX(]1k-1[SX)],故选C.
  师评:此种解法要求考生思维敏捷,迅速从四个选项中找准证明对象,然后再构造函数证明,难度比较大.但这种解法也不是凭空想象、随意捏造,它主要的是考查考生,如何根据已知条件的特点,构造出新函数进行求解证明.
  [K]2.构造具体函数及取特殊值
  通过题设可以发现问题涉及的是抽象函数,而求解此类选择、填空题,经常可以化抽象为具体,使问题变得更具体、更简单.题目的设问是要选出对“任意的k>1和任意的函数f(x)”,四个不等式中一定是错误的,由此可推断对其它3个选项,只要能找到存在“k>1和函数f(x)”使其成立即可.由于四个选项中都含有k,所以把k取特殊值后,不影响正确答案的选择.所以可构造特殊函数f(x)及k的值如下:
  若f(x)=2.1x-1,k=2,则A成立;若f(x)=10x-1,k=2,则B、D成立;
  而两个函数都是使得C不成立,故选C.
  师评:此法要求考生在取定k=2后,发现要构造的一次函数f(x)的斜率可以取大于2的数,且斜率的取值越大,f([SX(]1k[SX)])=f([SX(]12[SX)])、f([SX(]1k-1[SX)])=f(1)的值会随着所构造的一次函数的斜率的变化而变化.所以考虑一个函数的斜率更接近于2,另一个函数的斜率远大于2.但此种解法存在“只知其然,不知其所以然”的缺点.
  [K]3.构造具体函数及运用不等式
  解法2利用构造的特殊一次函数,只能让我们选出正确答案,但它无法解释问题的本质,下面我们可以从简易逻辑、不等式等知识进行分析说明:
  .
  4.以形助数
  希尔伯特在其名著《几何直观》一书中指出,图形可以帮助我们发现、描述研究的问题,可以帮助我们寻求解决问题的思路,可以帮助我们理解和记忆得到的结果.在解法3的基础上,我们知道C选项肯定是错的,那能否用图形来帮助我们理解和解释得到的结果呢?
  若f(x)=mx-1 (m>k>1),设[SX(]1k-1[SX)]∈D,则不等式f([SX(]1k-1[SX)])<[SX(]1k-1[SX)]等价于函数y=f(x)在x∈D的图象落在函数y=x图象的下方,而通过作图后分析,可直观地发现它是不成立的.具体如下:
  设点B是直线f(x)=mx-1 (m>k>1)与直线[JY]
  y=x的交点,则点B的横坐标为x=[SX(]1m-1[SX)],因为m>k>1,所以m-1>k-1>0,所以[SX(]1m-1[SX)]<[SX(]1k-1[SX)],由图象可知:在x∈([SX(]1m-1[SX)],+∞)时,函数y=f(x)的图象恒在直线y=x的上方,所以f([SX(]1k-1[SX)])>[SX(]1k-1[SX)]恒成立.
  [J2.1mm]师评:通过函数图象分析,让我们更加清晰地看出试题是如何命制,也让我们将相对抽象的、复杂的数学关系直观、清晰地展现出来,达到一幅图胜过一千个文字说明.
  【本文是福建省教育科学“十二五”规划2015年度立项课题《高中数学试卷讲评课教学策略实证研究》(课题立项批准号:FJJK15-464)】

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