小题小解事半功倍决胜高

新课标《数学考试说明》指出:数学学科的命题将按照“考查基础知识的同时,注重考查能力”的原则,确立以能力立意命题的指导思想,将知识,能力和素质融为一体,全面检测考生的数学素养.新课标数学高考对考生能力要求主要指:空间想象能力,抽象概括能力,推理论证能力
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  新课标《数学考试说明》指出:数学学科的命题将按照“考查基础知识的同时,注重考查能力”的原则,确立以能力立意命题的指导思想,将知识,能力和素质融为一体,全面检测考生的数学素养.新课标数学高考对考生能力要求主要指:空间想象能力,抽象概括能力,推理论证能力,运算求解能力,数据处理能力,实际应用意识和创新意识.这样在高考中,数学科的考查更趋向于“难点多,技巧性强,规律覆盖全面,题目类型广阔,知识点密度大,探索性创新性强”.考生在解答高考数学题时,面临着严峻的考验.许多考生在考场上手忙脚乱,疲于奔命,对于小题(12个选择4个填空)存在着小题当大题作,浪费许多时间,导致大题做不完或没有时间做,几多遗憾悔恨在考场啊!
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  小题小作,在于平时总结规律,积累经验,挖掘技巧,虽说“学无定法”,但一定有法可循.
  笔者就近些年高考小题的解法作一些探讨.
  一、熟练运用“小结论” ――通式通法
  高考中,学生除记住课本上的公式的条件结论之外,还应记住一些在习题,例题,通用的参考书中的一些“典型的具有统一规律”的“小结论”,运用它们解小题,常常一步到位,省时省力,准确率高.
  例1(2012年河南卷第6题)设等差数列{an}前n项和为Sn,若Sm=9,S2m=36,则S3m=
  A.63B.45C.81D.70
  分析若由Sm=9,S2m=36,列方程求首项a1和公差d后再求S3m,解起来很麻烦,小题大做浪费时间.有“小结论”:等差数列{an}每相邻m项的和仍然组成等差数列.于是Sm,S2m-Sm,S3m-S2m成等差数列.于是本题9,36-9,S3m-36成等差数列,得出S3m=81.
  例2(2012年山东14题)定义在R上的函数f(x)满足f(x) ?f(x+2)=13,f(1)=2,则f(99)=.
  分析若x逐个取值从x=1到99相当耽误时间,用“小结论”若f(x+a)=kf(x),则2a是f(x)的一个周期,很方便.
  f(x+2)=13f(x),则4是f(x)周期,f(99)=f(4×24+3)=f(3)=13f(1)=132,简单巧妙.
  例3(2x+3)10=a0+a1x+a2x2+…+a10x10,
  则(a0+a2+a4+…+a10)2-(a1+a3+a5+…+a9)2.
  分析运用以下“小结论”:f(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn的所以奇次项的系数和a1+a3+a5+…=f(1)-f(-1)2,所有偶次项系数和a0+a2+a4+…=f(1)+f(-1)2.
  故所求值[f(1)+f(-1)2]2-[f(1)-f(-1)2]2
  =f(1)f(-1)=(2-3)10=(-1)10=1.
  类似的“小结论”还有:等比数列每相邻m项的和(不为零时),依次组成的数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m也成等比数列.
  若函数f(a+x)=f(a-x)或f(x)=f(2a-x),则其图象关于直线x=a对称.
  奇函数在原点两侧具有相同的单调性,偶函数在原点两侧具有相反的单调性(常值函数除外)
  幂函数y=xa,a>1时,曲线下凸;0  记函数f(x)定义域M,值域N,则a≥f(x)恒成立的充要条件是a≥[f(x)]最大值,a≤[f(x)]恒成立的充要条件是a≤[f(x)]最小值.
  设z为复数,则z为实数z=,z为纯虚数z+=0且z≠0.
  点M(x0,y0)在圆或椭圆F(x,y)=0的内,上,外部 F(x0,y0)的值小于0,等于0,大于0.
  双曲线焦点到渐近线的距离为b,椭圆和双曲线的通径长2b2a.
  抛物线过焦点的弦被焦点分成两段长分别为m,n,
  则1m+1n=2p.
  f(x+a)=-f(x),f(x+a)=±kf(x),k≠0常数,则2a是f(x)的一个周期.通过细心探索和研究能挖掘出很多我们常说的“通式通法”,它们是有统一规律的,能解一类题,触类旁通,平时多注意积累,发现规律并运用规律,从实践中来,再到实践中去.
  二、求解小题(选择和填空题)的基本方法
  1.直接求解法
  例1(2014年新课标1) (1+i)3(1-i)2=
  A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i
  解(1+i)3(1-i)2=(2i)(1+i)-2i=-1-i,选D.
  例2(2015年陕西)椭圆x22a2+y2b2=1 (a>b>0)和双曲线x2a2-y2b2=1 (a>0,b>0)有相同的焦点F1,F2,则椭圆和双曲线离心率平方和为.
  解94.
  2.图象法
  利用函数图象或数学结果的几何意义,将“数”的问题与某些图形结合起来,利用几何图形的直观性,再辅以简单计算,确定正确答案.
  例3(2014年山东)已知函数f(x)=|x-2|+1,g(x)=kx,若方程f(x)=g(x)有两个不相等的实根,则实数k的取值范围
  A.(0,12)B.(12,1)
  C.(1,2)D.(12,1)
  解先作f(x)=|x-2|+1的图象,当直线g(x)=kx与AB平行时斜率为1,当g(x)=kx过A点时斜率为12,故f(x)=g(x)有两个不相等的实根,k的范围是(12,1).
  3.筛选法(排除法,淘汰法)
  例4(2014年北京)下列函数中在区间(0,+∞)上为增函数的是
  A.y=x+1B.y=(x-1)2   C.y=2-xD.y=log0.5(x+1)
  解C,D为减函数,要排除,而B在(0,1)为减函数,排除,只选A.
  4.特例法
  例5(2014年四川)若a>b>0,c  A.ac>bdB.acbcD.ad>bc
  解由a>b>0,cbd,A正确,排除B、C、D.
  5.信息迁移法
  例6(2015年山东)规定函数y=f(x)图象上的点到坐标原点距离的最小值叫做函数y=f(x)的“中心距离”,给出以下四个命题:
  (1)函数y=1x的“中心距离”大于1.
  (2)函数y=-x2-4x+5的“中心距离”大于1.
  (3)若函数y=f(x) (x∈R)与y=g(x) (x∈R)的“中心距离”相等,则h(x)=f(x)-g(x)至少有一个零点.以上命题是真命题的个数有
  A. 0B. 1C. 2D. 3
  解析命题(1)显然正确;对于命题(2),令y=0,得x=-1或x=5,故(2)错误;对于命题(3)举特例,如函数y(x)=-x+1与函数g(x)=-x-1的“中心距离”相等,但两函数表示的直线平行,所以h(x)=f(x)-g(x)无零点,则(3)错误,故选项B正确.
  6.验证法(代入法)
  将选择支中给出的答案或特殊值,代入题干逐一去验证是否满足题设条件,以判断选择支正误的方法.在运用验证法解题时,若能据题意确定代入顺序,能较大提高解题速度.
  例7(2014年新课标)设f(x),g(x)定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论正确的是
  A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数
  C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数
  解析|f(-x)|=|-f(x)|=|f(x)|,则|f(x)|是偶函数.|g(-x)|=|g(x)|,则|g(x)|是偶函数.
  观察分析得选项C正确.(奇函数×偶函数=奇函数)
  在考场上,想要事半功倍,决胜高考,要从容镇静,恰当灵活选用解小题的特殊方法和小结论,快速准确答完小题,为大题的解答赢得充裕的时间.以上笔者所述,旨在抛砖引玉,愿同学们小题小解的功夫修炼成熟,在考场上决战取胜,扬帆驶进自己理想的高等学府,大展宏图之志,实现自己的中国梦,报效祖国,造福人民.

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