数学教学中的几点思考

一、由教学知识点引发的思考 毕业论文网 /1/view-11300116.htm 知识点1.秦九韶算法 人教版教材中在这一节有个思考题,“用秦九韶算法求n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,当x=x0(x0是任意实数)时的值,需要多少次乘法运算,多少次加法运算?” 一般情况下,
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  一、由教学知识点引发的思考
毕业论文网 /1/view-11300116.htm
  知识点1.秦九韶算法
  人教版教材中在这一节有个思考题,“用秦九韶算法求n次多项式f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0,当x=x0(x0是任意实数)时的值,需要多少次乘法运算,多少次加法运算?”
  一般情况下,是n次乘法运算和n次加法运算,这是由最高次项的次数所决定的.那么当此多项式缺项、首项系数为1或常数项为0时,还是吗?
  下面分别以三道例题来谈笔者对这几种特殊情况的看法.
  首先来看缺项情况.
  例题1已知f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x+1,求x=2的函数值,用几次乘法,几次加法?
  观点1因为
  f(x)=2x6-5x5-4x3+3x2-6x+1
  =((((2x-5)x2-4)x+3)x-6)x+1,
  所以用了6次乘法,5次加法.
  观点2因为
  f(x)=2x6-5x5+0*x4-4x3+3x2-6x+1
  =(((((2x-5)x+0)x-4)x+3)x-6)x+1.
  所以用了6次乘法,6次加法.
  也就是说,缺项时,系数补成0.
  接着看首项系数为1的情况.
  例题2已知f(x)=x4+2x3-3x2+4x-5,求x=2的函数值,用几次乘法,几次加法?
  观点1因为
  f(x)=x4+2x3-3x2+4x-5
  =(((x+2)x-3)x+4)x-5,
  所以用了3次乘法,4次加法.也就是说,当最高次项系数是1,乘法次数少1次.
  观点2因为
  f(x)=x4+2x3-3x2+4x-5
  =(((1?x+2)x-3)x+4)x-5,
  所以用4次乘法,4次加法.
  最后看常数项是0的情况.
  例题3已知f(x)=5x4+2x3-3x2+4x,求x=2的函数值,用几次乘法,几次加法?
  观点1因为
  f(x)=5x4+2x3-3x2+4x
  =(((5x+2)x-3)x+4)x,
  所以用了4次乘法,3次加法.即当常数项为0时,加法次数少1次.
  观点2因为f(x)=5x4+2x3-3x2+4x
  =(((5x+2)x-3)x+4)x+0,
  所以用4次乘法,4次加法.
  对于以上几种特殊情况,到底哪种观点是正确的呢?
  针对这几种特殊情况,可以从秦九韶算法及算法的程序中分析出来.
  因为算法的用计算机执行的,不是用人脑算的!当缺项时,系数要输入0;当首项系数是1时,输入1;当常数项是0时,输入0.这样的话,以上所列的各种特殊情况既不会影响求值时乘法的次数,也不会影响加法的次数.INPUT
  v所以用秦九韶算法求n次多项式
  f(x)=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0
  当x=x0(x0是任意实数)时的值,需要n次乘法运算,n次加法运算.
  知识点2.对数函数的定义
  人教版教材中给出的定义是“一般地,我们把y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞)”.为了让学生更好地理解对数函数的概念,老师通常会列出一些函数,例如y=lgx2,y=log3(x+1),y=log2x-4,来让学生判断是否是对数函数,然后再给大家总结一下对数函数定义中的几个要点.那么,下面这些函数y=13lnx,y=lgx10+1,y=2log4x,y=13log2x3,等等,是对数函数吗?乍一看,不是!但是仔细整理一下,由对数的运算性质及对数的性质logambn=nmlogab可知,
  y=13lnx=loge3x,
  y=lgx10+1=lgx10+lg10=lgx,
  y=2log4x=2log22x=log2x,
  y=13log2x3=log2x,
  所以笔者以为类似于y=13lnx,y=lgx10+1,y=2log4,y=13log2x3等等的函数是对数函数.也就是说,是不是对数函数,看等价变形之后的函数是否是对数函数.难道我们要说函数y=2log4x不是对数函数,而函数y=log2x是对数函数吗?显然这两个函数是相等函数.这个类似于初中阶段单项式与多项式的概念,也类似于小学阶段整数和分数的概念.
  二、易错题的分析
  1.已知Sn是等比数列{an}的前n项和,且有S2=7,S6=91,求S4.
  分析由数列{an}是等比数列可知,此数列依次m项的和仍然是等比数列,即Sm,S2m-Sm,S3m-S2m是等比数列(当q=-1或m为奇数时).
  解由题意,显然q≠-1,
  所以S2,S4-S2,S6-S4是等比数列,
  故(S4-S2)2=S2(S6-S4),
  代入数值得(S4-7)2=7×(91-S4),
  解得S4=28或S4=-21.
  当S4=-21时,S4-S2=-28,
  又S4-S2=a4+a3=(a2+a1)q2=S2q2,
  而q2>0,所以S4-S2与S2要同号,
  而S2=7,故S4=-21不符合题意.
  可以检验,当S4=28时,符合题意.
  所以S4=28.
  评析此题目很容易得到两种答案,S4=28或S4=-21.只要细想一下,就不难发现S4=-21不合题意.这就类似于等比中项的定义,一般情况下,等比中项有两个,且互为相反数.特殊情况下,就只有一个.比如,等比数列{an}中,a1=1,a5=9,则a3=3.   此题的另一种解法:
  显然q≠1,由等比数列前n项和公式得
  S2=a1(1-q2)1-q=a1(1+q)=7,
  S6=a1(1-q6)1-q=a1(1-q2)(1+q2+q4)1-q
  =a1(1+q)(1-q)(1+q2+q4)1-q
  =a1(1+q)(1+q2+q4)=91,
  S6S2=1+q2+q4=13,
  即q4+q2-12=0,得q2=-4(舍)或q2=3,
  S4=S2+q2S2=28,
  2.在△ABC中,a,b,c分别是A,B,C的对边,a=3,b=26,B=2A.(1)求cosA的值;(2)求c的值.
  分析(1)已知a,b的长度和∠B,∠A之间的关系,可以考虑用正弦定理求解.(2)由余弦定理的推论写出cosA,得到关于c的一元二次方程,解出c.
  解(1)因为B=2A,
  所以sinB=2sinAcosA.
  由正弦定理asinA=bsinB,
  得asinA=b2sinAcosA,
  代入数值,有3sinA=262sinAcosA,
  解得cosA=63.
  (2)由余弦定理的推论有cosA=b2+c2-a22bc,
  代入数值得 63=24+c2-92×26c,
  即c2-8c+15=0,解得c=3或c=5.
  当c=3时,有a=c,A=C,A+B+C=180°=4C,
  所以C=A=45°.
  因此△ABC是等腰直角三角形,
  而题目中b2=24≠a2+b2=32+32,
  所以c=3不符合题意.
  可以验证,c=5符合题意.
  所以c=5.
  评析此题第二小题很容易得出c=3或c=5,而且它们都可以构成三角形.
  它的另一种解法如下,可避免讨论:
  因为cos2A+sin2A=1,所以sin2A=13,
  又A是三角形的内角,所以sinA=33,
  由B=2A知cosB=1-2sin2A=13,
  sinB=2sinAcosA=223.
  所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
  =33×13+63×223=539.
  再根据正弦定理asinA=csinC,
  得c=asinCsinA=3×53933=5.
  三、教学方向的把握
  数学教材中,主编寄语其实讲得很清楚.
  1.数学是有用的
  在生活、生产、科学和技术中,我们都会看到数学的许多应用.在教学中,我们也会经常给学生讲,数学应用很广,用处很多.但是学生往往感受不到,因此学习的动力就不足.特别是在学习比较抽象的知识的时候,有些老师会告诉学生,现在先学着,以后总有用得着的时候.这样即便是学生学了,也是在老师的要求下学的,没能体会到学习是自身的一种需要.因此,这就要求我们老师在引导学生学习的过程中,从日常生活中的实例入手引出问题,组织学生进行分析探究,归纳总结,对知识的认识由感性层面上升到理性层面,再运用所学的知识去解决实际问题(这个环节很重要),让学生切实体会到数学的用处.不要总想着“这种题目高考必考,多讲一些;那种题目高考不考,就不用讲了”.深思一下,难道我们的教育教学就是帮助学生如何应对高考吗?那高考之后呢?
  2.数学能提高能力
  每一门学科,都有它各自独特的一面.“读史使人明智,读诗使人灵秀,演算使人精密,哲理使人深刻,伦理学使人庄重,逻辑修辞使人善辩”.学习数学,主要是学习数学思想,数学方法,提高自己的思维能力,为以后能够更好地发展打下良好的基础.

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