特值引路先猜后证

含参不等式恒成立问题是近年高考的一类热点题型,因而是我们高考备考复习的重要内容.然而,纵观这几年的高考试题,笔者发现无论采用最值法,还是分离参数法都不能有效地解决问题.若采用分离参数法,由于分离后函数形式的复杂而无法求出函数的最值,往往结果是有始无终
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  含参不等式恒成立问题是近年高考的一类热点题型,因而是我们高考备考复习的重要内容.然而,纵观这几年的高考试题,笔者发现无论采用最值法,还是分离参数法都不能有效地解决问题.若采用分离参数法,由于分离后函数形式的复杂而无法求出函数的最值,往往结果是有始无终;若不分离,对动态问题中的参数又无法分类.面对这样的两难问题,考生对这类题得分往往很低.针对以上问题,笔者给出解决此类题的一个方法:“特值引路,先猜后证”.
毕业论文网 /1/view-11300117.htm
  例1设函数f(x)=a(x+1)2ln(x+1)+bx,x>-1.曲线y=f(x)过点(e-1,e2-e+1)且在点(0,0)处的切线方程为y=0.(1)求a,b的值;(2)若x≥0时,f(x)≥mx2恒成立,求实数m的取值范围.
  解(1) f ′(x)=2a(x+1)ln(x+1)+a(x+1)+bx,
  由题意得f ′(0)=a+b=0,
  f(e-1)=ae2+b(e-1)=a(e2-e+1)=e2-e+1,
  所以a=1,b=-1.
  (2)依题意得(x+1)2ln(x+1)-x-mx2≥0在x∈[0,+∞)上恒成立.
  当x=0时,0≥0成立,m∈R.
  当x>0时,m≤(x+1)2ln(x+1)-xx2,
  令h(x)=(x+1)2ln(x+1)-xx2,则m≤h(x)min.
  由洛必达法则得
  limx→0h(x)=limx→0+(x+1)2ln(x-1)-xx2
  =limx→0+2(x+1)ln(x+1)+x2x=limx→0+2ln(x+1)+32=32,
  所以,猜想得m≤32,下证(x+1)2ln(x+1)-xx2≥32.
  上式化为(x+1)2ln(x+1)-x-32x2≥0.
  令g(x)=(x+1)2ln(x+1)-x-32x2.
  则g′(x)=2(x+1)ln(x+1)-2x,
  g″(x)=2ln(x+1)>0.
  所以,g′(x)单调递增且g′(x)>g′(0)=0,由此得g(x)单调递增且g(x)>g(0)=0,
  所以,(x+1)2ln(x+1)-x-32x2≥0成立,
  即(x+1)2ln(x+1)-xx2≥32.综上得,m≤32.
  例2(2010年全国卷)设函数f(x)=1-ex,(1)证明:当x>-1时,f(x)≥xx+1;(2)设x≥0时,f(x)≤xax+1,求a的取值范围.
  解(1)略.
  (2)当x≥0时,0≤f(x)=1-ex<1.
  所以要使f(x)≤xax+1成立,必须ax+1>0在x≥0时恒成立,即必须a≥0.
  当x=0时,不等式为f(0)=0≤0,所以a∈R.
  当x>0时,由1-e-x≤xax+1得ax+1≤x1-e-x,
  即a≤11-e-x-1x=x-1+e-xx-xe-x.
  令h(x)=x-1+e-xx-xe-x,则由洛必达法则得
  limx→0+h(x)=limx→0+x-1+e-xx-xe-x=limx→0+1-e-x1-e-x+xe-x
  =limx→0+e-x2e-x-xe-x =limx→0+12-x=12,
  所以,猜想得a≤12.
  下证11-e-x-1x>1211-e-x>12+1x=x+22x
  2-x2+xex<1.
  令g(x)=2-x2+xex,则g(x)=-xx(2+x)2<0.
  所以g(x)在(0,+∞)上是减函数.所以g(x)  例3(2014年全国)已知函数f(x)=ex-e-x-2x.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)设g(x)=f(2x)-4bf(x),当x>0时,g(x)>0,求b的最大值.
  解由(1)知x>0时,ex-e-x-2x>0.
  从而4b  令h(x)=e2x-e-2x-4xex-e-x-2x,则由洛必达法则得
  limx→0h(x)=limx→0e2x-e-2x-4xex-e-x-2x=limx→02e2x+2e-2x-4ex+e-x-2
  =limx→04e2x-4e-2xex-e-x=4limx→0(ex+e-x)=8.
  所以,猜想得e2x-e-2x-4xex-e-x-4x>8.
  下证e2x-e-2x-4xex-e-x-4x>8e2x-e-2x-4x-8(ex-e-x-2x)>0.
  令t(x)=e2x-e-2x-4x-8(ex-e-x-2x),
  则t′(x)=2e2x+2e-2x-4-8(ex+e-x-2),
  t″(x)=4e2x-4e-2x-8(ex-e-x)
  =4(ex-e-x)(ex+e-x-2)>0,
  所以,t′(x)在(0,+∞)上是增函数.所以,t′(x)>t′(0)=0,
  所以,t(x)在(0,+∞)上是增函数,从而t(x)>t(0)=0成立,即不等式成立.由4b≤8得b≤2.
  牛顿曾指出:“没有大胆的猜想,就做不出伟大的发现.”因此在解题过程中要善于运用合情推理:“特值引路,先猜后证.”即通过特值猜想求出使问题成立的必要条件,再证明其具有充分性即可.“特值引路,先猜后证”,只有敢于猜想,大胆假设,才能从多层次,多角度地去思考问题,促使思维打破常规,产生新的思路,从而攻克导数难关.因此,考生应该大胆猜想再努力寻求论证方法.

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