函数单调性的应用

函数的单调性是函数的一条重要性质,反映了函数值的变化规律. 在高考中历考弥新,考查的深度远远高于课本. 毕业论文网 /1/view-11300140.htm 在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行,因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集.
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  函数的单调性是函数的一条重要性质,反映了函数值的变化规律. 在高考中历考弥新,考查的深度远远高于课本.
毕业论文网 /1/view-11300140.htm
  在讨论函数单调性时必须在其定义域内进行,因此要研究函数的单调性就必须先求函数的定义域,函数的单调区间是定义域的子集. 接下来就来谈谈函数单调性的应用.
  例1试讨论函数f(x)=xx2+1的单调性.
  分析可采用定义法或导数法判断.
  解法一f(x)的定义域为R,在定义域内任取x1  都有f(x1)-f(x2)=x1x21+1-x2x22+1=(x1-x2)(1-x1x2)(x21+1)(x22+1),
  其中x1-x2<0,x21+1>0,x22+1>0.
  ①当x1,x2∈(-1,1)时,即|x1|<1,|x2|<1,
  所以|x1x2|<1,
  则x1x2<1,1-x1x2>0,f(x1)-f(x2)<0,f(x1)  ②当x1,x2∈(-∞,-1]或[1,+∞)时,
  1-x1x2<0,f(x1)>f(x2),所以f(x)为减函数.
  综上所述,f(x)在[-1,1]上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数.
  解法二因为f ′(x)=(xx2+1)′=x2+1-x(x2+1)′(x2+1)2
  =x2+1-2x2(x2+1)2=1-x2(x2+1)2,
  所以由f ′(x)>0解得-1  由f ′(x)<0解得x<-1或x>1,
  所以f(x)在[-1,1]上是增函数,在(-∞,-1]和[1,+∞)上是减函数.
  方法总结判断(或证明)函数单调性的主要方法有:(1)函数单调性的定义;(2)观察函数的图象;(3)利用函数和、差、积、商和复合函数单调性的判断法则;(4)利用函数的导数等.
  例2讨论函数f(x)=axx-1(a≠0)在(-1,1)上的单调性.
  解设-1  f(x)=a(x-1+1x-1)=a(1+1x-1),
  f(x1)-f(x2)=a(1+1x1-1)-a(1+1x2-1)
  =a(x2-x1)(x1-1)(x2-1).
  当a>0时,f(x1)-f(x2)>0,
  即f(x1)>f(x2),函数f(x)在(-1,1)上递减;
  当a<0时,f(x1)-f(x2)<0,
  即f(x1)  例3已知函数f(x)=x2+ax (a>0)在(2,+∞)上递增,求实数a的取值范围.
  分析 求参数的范围转化为不等式恒成立时要注意转化的等价性.
  解法一设2  f(x1)-f(x2)=x21+ax1-x22+ax2=(x1-x2)+a(x2-x1)x1x2
  =(x1-x2)x1x2-ax1x2<0
  恒成立.即当2a恒成立.
  又x1x2>4,则0  解法二f(x)=x+ax,f ′(x)=1-ax2>0,
  得f(x)的递增区间是(-∞,-a),(a,+∞),根据已知条件a≤2,解得0  方法总结已知函数的解析式,能够判断函数的单调性,确定函数的单调区间,反之已知函数的单调区间可确定函数解析式中参数的值或范围,可通过列不等式或解决不等式恒成立问题进行求解.
  例4函数y=x-5x-a-2在(-1,+∞)上单调递增,则a的取值范围是
  A.a=-3B.a<3C.a≤-3D.a≥-3
  解析y=x-5x-a-2=1+a-3x-a+2,
  需a-3<0,
  a+2≤-1,即a<3,
  a≤-3,
  所以a≤-3.故选C.
  例5已知函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x)<0,f(1)=-23.
  (1)求证:f(x)在R上是减函数;
  (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
  审题视点抽象函数单调性的判断,仍须紧扣定义,结合题目作适当变形.
  解(1)证法一:因为函数f(x)对于任意x,y∈R总有f(x)+f(y)=f(x+y),
  所以令x=y=0,得f(0)=0.
  再令y=-x,得f(-x)=-f(x).
  在R上任取x1>x2,则x1-x2>0,
  f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2).
  又因为x>0时,f(x)<0,
  而x1-x2>0,所以f(x1-x2)<0,即f(x1)  因此f(x)在R上是减函数.
  证法二:设x1>x2,则
  f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)
  =f(x1-x2)+f(x2)-f(x2)=f(x1-x2).
  又因为x>0时,f(x)<0,而x1-x2>0,
  所以f(x1-x2)<0,即f(x1)  所以f(x)在R上为减函数.
  (2)因为f(x)在R上是减函数,所以f(x)在[-3,3]上

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