初等及高等数学中齐次线性方程组的运用

摘 要: 文章对齐次线性方程组的基本理论进行简要阐述,并研究了齐次线性方程组在初等数学中证明等式、证明三角恒等式、求值及数量关系中的应用,以及在高等数学中的判断向量组线性相关性、证明行列式等于零、证明矩阵秩中的应用.通过研究齐次线性方程组在初等数学及高
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  摘 要: 文章对齐次线性方程组的基本理论进行简要阐述,并研究了齐次线性方程组在初等数学中证明等式、证明三角恒等式、求值及数量关系中的应用,以及在高等数学中的判断向量组线性相关性、证明行列式等于零、证明矩阵秩中的应用.通过研究齐次线性方程组在初等数学及高等数学中的应用,充分体现了线性方程组理论的实用价值.

  关键词: 齐次线性方程组; 矩阵的秩; 非零解;

  Abstract: In this paper,the basic theory of linear equations is briefly explained,and the theory of homogeneous linear equations is applied to solve some problems in elementary mathematics and higher mathematics,which makes the connection between theory and practice more closely,and fully embodies the practical value of the theory of linear equations.

  Keyword: homogeneous linear equations; rank of matrix; nonzero solution;

  齐次线性方程组作为高等代数理论的一项重要分支,源于生活和生产实践.齐次线性方程组是高等代数的基本研究内容之一,同时也是贯穿高等代数知识的主线[1].随着计算机应用的普及,线性方程组理论被广泛应用到科学、技术和经济管理等领域.齐次线性方程在解决各类科学知识中有着极为广泛的应用.随着中学数学教学改革,已有很多高等数学的知识渗透到中学数学教学中[2,3].近年来,国际中学生奥林匹克数学竞赛的试题中,与齐次线性方程有关的题目呈递增的趋势[4,5].本文介绍了齐次线性方程组的基本理论,并运用齐次线性方程组的相关理论,探究其在初等数学及高等数学中的应用,进而对齐次线性方程组有更深入地理解.

初等及高等数学中齐次线性方程组的运用

  1 、线性方程组的基本理论

  定理1[1]n个未知量n个方程的齐次线性方程组有非零解的充要条件是方程组的系数行列式等于零.

  推论1[2]若齐次线性方程组中s=n,方程组有唯一零解的充要条件是方程组的系数行列式不等于零.

  定理2[3]若在齐次线性方程组中,方程的个数小于未知量的个数,那么这个方程组必有非零解.

  定理3[4]设齐次线性方程组的系数矩阵的秩r<n,那么它一定存在n-r个解向量组成的基础解系,且齐次线性方程组的任意n-r个线性无关的解向量都是它的一个基础解系.

  2 、齐次线性方程组在初等数学中的应用

  2.1 、证明等式的应用

  此方面的应用是将已知条件联立成齐次线性方程组,然后利用齐次线性方程组有非零解的条件,即方程组的系数行列式为零,证得所要证明的等式关系.

  例1若ax1+by1=1,bx1+cy1=1,cx1+ay1=1,求证:ab+bc+ca=a2+b2+c2.

  证明由已知条件可得这表明(x1,y1,1)是齐次线性方程组的解,显然是非零解,因此其系数行列式D=0,将其展开即得ab+bc+ca=a2+b2+c2.

  例2如果x=by+cz,y=cz+ax,z=ax+by,其中,x,y,z不全为零,则ab+bc+ac+2abc=1.

  2.2、 证明三角恒等式的应用

  此方面的应用是利用已知条件,并结合中学的三角函数知识,构造成齐次线性方程组,然后利用齐次线性方程组有非零解的条件,即方程组的系数行列式为零,证得所要证明的等式关系.

  例3在ΔABC中,设三个内角为A,B,C,其所对应的边分别为a,b,c,求证:

  (1)c2=a2+b2-2abcos C;

  (2)cos2A+cos2B+cos2C+2cos Acos Bcos C=1.

  证明(1)在ΔABC中,由射影定理得

  构造方程组得

  所以方程组有非零解(cos A,cos B,1),因而由定理1得

  即得c2=a2+b2-2abcos C.

  (2)在ΔABC中,式(1)可改写为

  上式可看成关于a,b,c的齐次线性方程组必有非零解,由定理1得

  即得cos2A+cos2B+cos2C+2cos Acos Bcos C=1.

  例4设A+B+C=π,xsin A+ysin B+zsin C=0,求证:

  证明因为A+B+C=π,所以sin C=sin(A+B).而

  又因为

  所以

  同理可得到

  联立(2)(3)(4)得

  此方程组可看成一个关于sin A,sin B,sin C的三元一次方程组,而sin A,sin B,sin C不同时为零,由定理1可得

  化简整理得

  2.3 、求值及数量关系中的应用

  此方面的应用是将已知条件转化成齐次线性方程组,然后利用齐次线性方程组有非零解的条件,即方程组的系数行列式为零,求值或给出数量关系.

  解由已知得

  把sinx,siny,sinz看作未知数,由已知条件可知,sinx,siny,sinz不为零,故方程组有非零解,于是行列式系数为零,即

  因而(k+1)2(k+2)=0,所以k=-1或者k=2.

  例6已知x,y,z不全为零,且任意两个不相等,又已知,求a,b,c之间的关系式.

  解由已知得方程组

  因为x,y,z不全为零,且任意两个不相等,所以关于x,y,z的齐次线性方程组(5)有非零解.故系数矩阵行列式为零,即,将行列式展开得a+b+c=2-abc.这就是a,b,c所满足的关系式.

  在上面的例题中,直接求解a,b,c之间的关系比较麻烦.但题设中的已知x,y,z不全为零,且其中任意的两个不相等,由此去构造以x,y,z为未知量的齐次线性方程组,进而化简问题的求解,便可使问题一目了然.

  3 、齐次线性方程组在高等数学中的应用

  3.1 、判断向量组线性相关性中的应用

  定义1[1]对于向量组α1,α2,?,αm,如果存在一组不全为零的数k1,k2,?,km,使得

  则称α1,α2,?,αm线性相关,否则线性无关.

  如果要判断向量组线性相关性,可以将向量组作为齐次线性方程组的系数矩阵,构造线性方程组,进而讨论方程组解的情况,来判别向量组是线性相关的还是线性无关的.

  例7判断向量组α1=(2,1,4,3),α2=(-1,1,-6,6),α3=(1,1,-2,7),α4=(2,4,4,9)的线性相关性.

  解设x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=0,得到方程组

  将系数矩阵作如下运算

  由于矩阵R(A)=3<4,则系数行列式为零,则方程组存在非零解,且有

  故向量组α1,α2,α3,α4线性相关.

  因此方程组有非零解,等价于方程组的列向量组是线性相关的;若方程组只有零解,等价于方程组的列向量组是线性无关的.

  3.2 、在证明行列式等于零中的应用

  如果要证明某个行列式等于零,可以转为证明以这个行列式所对应的矩阵为系数矩阵的某个齐次线性方程组有非零解,进而证得行列式为零.

  例8设n阶矩阵A的伴随矩阵为A*,证明若|A|=0,则|A*|=0.

  证明1)若A=0,显然|A|=0,必然有|A*|=0;

  2)若A≠0,当|A|=0时,不妨设

  并假设矩阵A的第j列元素不全为零,即

  因为

  所以

  即齐次线性方程组A*X=0有非零解,由定理1可知|A*|=0.

  3.3 、在证明矩阵秩中的应用

  线性方程组理论在高等数学的矩阵中,也有着广泛的应用,例如在证明矩阵秩等相关问题的过程中,也可以运用齐次线性方程组的理论进行证明.

  例9证明R(A,B)≤min{R(A),R(B)}.

  证明设矩阵Am×n与Bm×n,根据齐次线性方程组可知

  式(6)的解显然为式(7)的解,由此可以将其两边化简,得到R(A,B)≤R(B);同理可得R(A,B)≤R(A),即结论成立.

  因为根据线性方程组理论,s-q+1≤i≤s-t,所以Ay=0的线性无关的解向量个数至少为(s-t)-(s-q)=q-t,从而n-p≥q-t,即R(A,B)≥R(A)+R(B)-n.

  该题在使用线性方程组理论解题时,就有很好的解题效果,根据此题的解题过程,还可以将结论推广为:设Ai(1≤i≤k),其为m×n型矩阵,由此可得

  4、 结语

  以上研究了齐次线性方程组理论在初等数学及高等数学中的一些应用.在证明中引入齐次线性方程组理论,从而使问题化难为易,让我们从中不仅能体会到创造性解题的乐趣,还体现了齐次线性方程组在解决数学问题时的简洁和易行.

  参考文献

  [1]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数[M].第3版.北京:高等教育出版社,2003.
  [2] 同济大学应用数学系.线性代数[M].北京:高等教育出版社,2003.
  [3] 赵树嫄.线性代数[M].第3版.北京:中国人民大学出版社,2006.
  [4]潘劲松.线性方程组解的应用[J].哈尔滨师范大学自然科学学报,2013,29(1):8-11.
  [5]白颉.判定向量线性相关性的几种方法[J].太原大学学报,2013,31(1):96-99.

  原文出处:贾宏宇,张淑娜,陈衍峰.齐次线性方程组解空间的性质及应用[J].通化师范学院学报,2020,41(10):40-44. 转载请注明来源。原文地址:http://www.lw54.com/html/shuxue/20201112/8373205.html   

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