纸飞机飞行最远的抛出角度数学建模分析

摘 要: 本文首先研究纸飞机的飞行原理,结合伯努利定律进行受力分析,用Auto CAD软件绘制受力分析图,建立数学模型,从而得出纸飞机的最佳出手角度。采用控制变量法进行实验,并得出数据,绘制表格,进行记录,结合matlab软件,绘制飞行轨迹曲线,得出使飞行距离尽可
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  摘 要: 本文首先研究纸飞机的飞行原理,结合伯努利定律进行受力分析,用Auto CAD软件绘制受力分析图,建立数学模型,从而得出纸飞机的最佳出手角度。采用控制变量法进行实验,并得出数据,绘制表格,进行记录,结合matlab软件,绘制飞行轨迹曲线,得出使飞行距离尽可能远的最佳方案,设计出手角度。

  关键词: 纸飞机; 飞行原理; 数学建模;、

  纸飞机自身没有动力,抛出瞬间获得一定初速度,机翼使空气分流,形成上下压力差,产生机翼的升力,升力与阻力合成为空气动力,维持纸飞机的飞行。机翼与机身的比例要恰当,合理调整纸飞机的重心、选择最佳出手角度等因素是纸飞机飞的高,飞得远的关键。

  1、 问题重述

  纸飞机有许多种折法,世界上有若干具有一定影响力的纸飞机比赛,通常的参赛规则是使用一张特定规格的纸,例如A4大小的纸张,折成一架纸飞机。折好后在无风的室内环境投掷,并测量其留空时间和飞行距离等成绩。我们假定纸飞机(以Suzanne为例)的翼面是精确的平面,需要建立合理的数学模型,计算出使飞行距离尽可能远,投掷出手的最佳角度。

  2、 问题分析

  通过对纸飞机受力分析,研究纸飞机的抛出角度

  纸飞机属于无动力滑行的飞行方式,因此问题一需要根据伯努利定律,对纸飞机进行受力分析,研究纸飞机的受力情况,讨论气流遇到纸飞机时,如何被机翼分成上下两股气流,形成压力差从而产生升力。

  3、 问题的求解

  3.1、 伯努利定律在纸飞机上的应用

  在空气动力学中伯努利定律最为重要,就是说空气流速越快,压强越小;反之空气流速越慢,压强越大。当空气遇到物体时会发生偏移,例如:纸飞机的机翼。当空气遇到机翼时,就会被分割成两部分,一部分从机翼的上表面流走,一部分从机翼的下部分流走。由于机翼的上表面比下表面凸出,所以上表面的气体流速比下表面的流速快,机翼的上表面压力比机翼的下表面压力小,产生压力差。两边相互较力,产生向上的推力,推动纸飞机向上。在这个流动过程中会产生复杂的速度和压力变化。要产生升力,上下表面的平均压力必须有差异。这个原理简单的数字表达式就是伯努利定律,以下式表示,其中p表示压力。

纸飞机飞行最远的抛出角度数学建模分析

  3.2、 气流对机翼的作用

  气流遇到纸飞机时,被分为两股气流,流过机翼的上下表面,在飞机尾部汇聚成一股气流。根据伯努利定理,由于机翼上表面气流流速比机翼下表面流速小,造成机翼上表面的压力比下表面的压力小,造成压力差从而产生升力使飞机克服地球引力,达到飞行的目的。

  3.3、 纸飞机受力原理

  (1)动力来源:纸飞机属于无动力滑行的飞行方式,它只能依靠被抛出时所受的瞬间推力,上升到一定高度时依靠自身重力向前滑行。(2)阻力原理:阻力来源于空气对机身的摩擦力,为增进飞行效率,纸飞机在设计应尽量接近流线型,以减少阻力。(3)升力原理:升力来源于纸飞机的机翼与空气接触。其中影响升力的因素:空气浮力:流体对物体的浮力是由上下压力差而产生,相对于纸飞机来说,压力差不大(纸飞机机翼很薄,机翼的上、下面与空气的接触面几乎在同一高度),因此假设可忽略不计。(4)牛顿第三定律(作用力与反作用力定律):对纸飞机的机翼做受力分析:抛出纸飞机时,一般都会与水平面成一定的夹角,斜向上投掷。此时机身与水平线的水平线的夹角称为攻角。空气会给纸飞机一个垂直于机翼的的力量,相对的机翼也会给空气一个反作用力,这个力量的垂直分力即为飞机的升力,水平分力成为阻力的一部分。

  3.4 、纸飞机的受力分析

  受力分析方程:

  由上述方程解得当θ=45°可求得F升有最大值,当θ=90°时F阻有最大值,F升此时为0。

  且此时F升=F阻

  3.5 、用运动学知识建立最基础的纸飞机运动模型

  若t=0时刻,纸飞机被抛出,抛出时的速度为v,抛出角为θ,纸飞机的飞行轨迹如图4所示,分析过程如下:

  可得纸飞机的运动轨迹方程:

  问题可转化为求(式1)式的极值问题:

  考虑升力、阻力与机翼仰角的关系,如下图所示:

  机翼仰角与升力、阻力关系图
机翼仰角与升力、阻力关系图

  结论:当抛出角度为45度时,纸飞机的升力达到最大值,所以,抛出角为45度时,飞行距离会提高。

  4 、总结

  纸飞机的投掷方法:最佳投出角度约45°左右,选择最佳的纸飞机结构以及合适的投掷角度是纸飞机飞的高,飞得远的关键因素。

  参考文献

  [1] 贾跃华.纸飞机的原理.百度文库,2019-4-19.
  [2]李炜璇.纸飞机.校园文范,2003.

    董晓红,康平.纸飞机的飞行原理数学建模[J].科技风,2019(33):83. 转载请注明来源。原文地址:http://www.lw54.com/html/shuxue/20200116/8231364.html   

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