谈谈反证法在教学中的应用教育论文

一、引言 有个很著名的“道旁苦李”的故事:从前有个名叫王戎的小孩,一天,他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘,尝了之后才知是苦的,独有王戎没动,王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦
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  一、引言

  有个很著名的“道旁苦李”的故事:从前有个名叫王戎的小孩,一天,他和小朋友发现路边的一棵树上结满了李子,小朋友一哄而上,去摘,尝了之后才知是苦的,独有王戎没动,王戎说:“假如李子不苦的话,早被路人摘光了,而这树上却结满了李子,所以李子一定是苦的。”这个故事中王戎用了一种特殊的方法,从反面论述了李子为什么不甜,不好吃。这种间接的证法就是我们下面所要讨论的反证法。

  二、反证法的定义、逻辑依据、种类及模式

  定义:反证法是从反面的角度思考问题的证明方法,属于“间接证明”的一类,即肯定题设而否定结论,从而导出矛盾,推理而得。

  种类:运用反证法的关键在于归谬,因此反证法又称为归谬法。根据结论B的反面情况不同,分为简单归谬法和穷举归谬法。

  模式:设待证的命题为“若A则B”,其中A是题设,B是结论,A、B本身也都是数学判断,那么用反证法证明命题一般有三个步骤:

  反设:作出与求证结论相反的假设;

  归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;

  结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。

  三、反证法的适用范围

  1、否定性命题

  即结论以“没有……”“不是……”“不能……”等形式出现的命题,直接证法一般不易入手,而反证法有希望成功。

  例求证:在一个三角形中,不能有两个角是钝角。已知:∠A,∠B,∠C是三角形ABC的三个内角。求证:∠A,∠B,∠C中不能有两个钝角。

  证明:假如∠A,∠B,∠C中有两个钝角,不妨设∠A>900,且∠B>900,则∠A+∠B+∠C>1800。这与“三角形内角和为1800”这一定理相矛盾。故∠A,∠B均大于900不成立。所以,一个三角形不可能有两个钝角。

  2、限定式命题

  即结论中含有“至多”、“至少”、“不多于”或“最多”等词语的命题。

  例在半径为的圆中,有半径等于1的九个圆,证明:至少有两个小圆的公共部分的面积不小于。

  证明:每个小圆的公共部分的面积都小于,而九个小圆共有个公共部分,九个小圆的公共部分面积要小于,又大圆面积为,则九个小圆应占面积要大于,这是不可能的,故至少有两个小圆的公共部分面积不少于。

  例已知方程,,中至少有一个方程有实数值,求实数的取值范围。

  分析:此题直接分情况用判别式求解就特别麻烦,可用反证法,假设三个方程都无实数根,然后求满足条件的集合的补集即可。

  证明:假设三个方程都无实根,则有:

  解得

  例已知m,n,p都是正整数,求证:在三个数中,至多有一个数不小于1.

  证假设a,b,c中至少有两个数不小于1,不妨设a≥1,b≥1,则 m≥n+p,n≥p+m.

  两式相加,得2p≤0,从而p≤0,与p是正整数矛盾.

  所以命题成立.

  说明“不妨设”是为了简化叙述,表示若有b≥1,c≥1和a≥1等其他各种情况时,证明过程是同样的.

  ∴所求的范围为、

  3、无穷性命题

  即涉及各种“无限”结论的命题。

  例求证:是无理数。

  分析:由于题目给我们可供便用的条件实在太少,以至于正面向前进一小步都非常困难。而无理数又是无限不循环的,“无限”与“不循环”都很难表示出来。当反设是有理数时,就增加了一个具体而有效的“条件”,使得能方便地将表示为一个分数。

  证明:假设是有理数,则存在互质,使,从而,为偶数,记为,∴,∴,则也是偶数。由,均为偶数与、互质矛盾,故是无理数。

  例求证:素数有无穷多个。

  证明:假设素数只有n个:P1、P2……Pn,取整数N=P1?P2……Pn+1,显然N不能被这几个数中的任何一个整除。因此,或者N本身就是素数(显然N不等于“P1、P2、……Pn中任何一个),或者N含有除这n个素数以外的素数r,这些都与素数只有n个的假定相矛盾,故素数个数不可能是有限的,即为无限的。

  四、运用反证法应注意的问题

  1、必须正确否定结论

  正确否定结论是运用反证法的首要问题。

  如:命题“一个三角形中,至多有一个内角是直角”。“至多有一个”指:“只有一个”或“没有一个”,其反面是“有两个直角”或“三个内角都是直角”,即“至少有两个是直角”。

  2、必须明确推理特点

  否定结论导出矛盾是反证法的任务,但何时出现矛盾,出现什么样的矛盾是不能预测的,也没有一个机械的标准,有的甚至是捉摸不定的、一般总是在命题的相关领域里考虑(例如,平面几何问题往往联系到相关的公理、定义、定理等),这正是反证法推理的特点。因此,在推理前不必要也不可能事先规定要得出什么样的矛盾。只需正确否定结论,严格遵守推理规则,进行步步有据的推理,矛盾一经出现,证明即告结束。

  五、小结

  反证法是数学中一种重要的证明方法,是“数学家的最精良的武器之一”,在许多方面都有着不可替代的作用、著名的英国数学家G、H、哈代对于这种证明方法作过一个令人满意的评论。在棋类比赛中,经常采用一种策略是“弃子取势”—牺牲一些棋子以换取优势。哈代指出,归谬法是远比任何棋术更为高超的一种策略;棋手可以牺牲的是几个棋子,而数学家可以牺牲的却是整个一盘棋。归谬法就是作为一种可以想象的最了不起的策略而产生的。它以其独特的证明方法和思维方式对培养学生逻辑思维能力和创造性思维有着重大的意义。反证法不仅可以单独使用,也可以与其他方法结合使用,并且可以在论证一道命题中多次使用,只要我们正确熟练运用,就能做到:精巧、直接、巧解难题、说理清楚、论证严谨,提高数学解题能力。

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