原制造商利润=新产品销售收入+再制造品销售收入+原材料收入-新产品生产成本-再制造品生产成本-回收价格-回收运营成本-旧件处理成本-销售运营成本

　　所以原制造商的利润函数可列为：

　　П=Pn Dn + Pr Qm n1 + δ n2 Qm -Cn Dn -CrQm n1-PmQm-Cm Qm - αm n1 Qm - βm n2 Qm -Ca( Dn + Qm )

　　将市场需求函数Dn =A-μPn，回收量函数Qm=B+kPm代入以上利润函数并整理后得：

　　П=( Pn - Cn - Ca )( A - μ Pn ) + ( B + k Pm )[ n1 ( Pr - Cr - αm ) + n2 ( δ - βm )- Pm - Cm- Ca ) ] (1)

　　原制造商以自身利润最大化为目标，利润函数是关于Pm、Pn的多元函数，对式(1)求一阶导数和二阶导数可得：

　　ПPn=A-2μPn+μCn+μCa

　　ПPm=kT-kCm-kCa-2kPm-B(2)

　　2ПPn2=-2μ

　　2ПPm2=-2k

　　其中T= ( Pr - Cr - αm ) n1 +n2 ( δ - βm )

　　令(2)中一阶导数为0，即，可得

　　Pn=Cn+Caμ+A2μ

　　Pm=T-Cm-Ca2-B2k(3)

　　并根据函数的最值点性质可知，(3)中的极值点为函数的最值点。因此，式(3)是利润函数(1)的最优解。将式(3)中的解代入原制造商的利润函数即可得原制造商利润最优值。

四、再制造商回收再处理模式下的旧件定价模型

　　再制造商回收再处理模式的旧件回收中，再制造商具有回收、再处理、再生产旧件的能力，只进行旧件再制造生产活动。此模式下旧件的回收再处理过程和第3节中原制造商回收旧件的过程相同。

　　再制造商利润=再制造品销售收入+原材料收入-再制造品生产成本-回收价格-回收运营成本-旧件处理成本-销售运营成本

　　故再制造商的利润函数为：

　　Пr= Pr Qm n1 + δ n2 Qm -Cr Qm n1-PmQm-Cm Qm - αm n1 Qm - βm n2 Qm -CaQm

　　将回收量函数Qm=B+kPm代入以上利润函数整理可得：

　　Пr=μPr0Pn1-μP2r0-μCa (Pn1-Pr0)+(B+kPs)[n1(s-αm)+n2(δ-βm)-Υmn3-Ps-Cm](4)

　　再制造商以自身利润最大化为目标，利润函数(4)是关于Pm的一元函数，对式(4)求一阶导数和二阶导数可得：

　　ПrPm=kT-kCm-kCa-2kPm-B

　　2ПrPm2=-2k(5)

　　令一阶导数为0，即 可得：

　　Pm=T-Cm-Ca2-B2k(6)

　　由二阶导数小于0，并根据函数的最值点性质可知，式(6)中结果是式(4)的极值点，也是最值点。将式(6)中的值代入再制造商的利润函数(4)即可得利润最优值。

五、总结与展望

　　本文建立了原制造商和再制造商对旧件的回收价格的制定模型，分析了原制造商和再制造商在不考虑竞争因素时的价格制定，得到了在这种情况下的最优决策值。通过文中分析计算，在不考虑竞争因素，双方占据不同市场下进行分散决策，原制造商对回收旧件价格的确定与再制造商的回收价格一致，得到无论是原制造商将新品与再制造品共同生产销售，还是再制造商只进行再制造品的生产销售，在市场上对回收旧件的回收价格的确定没有影响。

　　本文研究存在不足，有很大的扩展前景。希望能够进行更深层次的研究，充分考虑市场中原制造商和再制造商的竞争市场，顾客对再制造品的销售价格的敏感程度，并且对于回收价格与回收旧件质量之间的关系尚未涉及，这将作为未来进一步研究的内容。

参考文献：

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