例：如图，已知在⊙O内接△ABC中，D是AB上一点，AD=AC，E是AC的延长线上一点，AE=AB，连结DE交⊙O于P，延长ED交⊙O于Q.求证：AP=AQ.

　　按“S—R”的行为主义联结理论，可以让学生直接操作。这时，学生可能不去仔细审题。由图形“先入为主”，不断尝试，不断碰壁，然后再回头去审题。在点、线、角、三角形、圆的离散图形中不断产生错误。偶而碰上解题思路，才得到问题的解决。之后，再不去认识、总结。下次在碰上此题，又重新错误尝试。显然，这样的问题解决法，造成精力的极大浪费，所学知识也难以巩固。平时，我们老师经常说：“此题我让学生解过，还做不出！”原因在于“S—R”联结不是“有意义的学习”，没有找出新旧知识之间的内在联结，没有建立学生的新的认知结构。

　　而利用认知结构理论思考，首先是认真审题，进入“上位学习”③，对自己提问：

　　1、见过这个问题吗？见过与其类似的问题吗？用到那些基础知识？（图类似？还是条件类似？还是结论类似？）

　　2、见过与之有关的问题吗？（能利用它的某些部分吗？能利用它的条件吗？能利用它的结论吗？引进什么辅助条件，以便利用？）

　　以此，把原建立的认知结构中的全等三角形、圆周角性质、等腰三角形的判定等旧知加以调运。在此基础上，使学生进入“下位学习”④

　　然后，盯住目标——始终盯住要证的结论AP=AQ。就是要明确方向，哪怕中间状态不断变化，但始终与目标比较，及时调整自己的思路，建立“认知地图”⑤，以不迷失方向。其基本框架如下：

　　如上题，我们不妨采用逆向分析进行探索。这是认知策略的其中一条有效途径：

　　AP=AQ（目标）

　　↑

　　∠AQP=∠APQ（前提）

　　以下为实现前提需找中间量，

　　即∠AQP=中间量=∠APQ.这时, 逆向分析无法进行,此时一般就是添辅助线的时候,转化圆周角∠AQP,连结BP,即有

　　∠AQP=∠ABP.

　　因此,只要证明∠ABP=∠APQ.

　　由于∠ABP=∠ABC+∠PBC,∠APQ=∠E+∠PAC,

　　而∠PBC=∠PAC,所以,只要证∠ABC=∠E,即证△ABC≌△AED.

　　(以下略)

　　这样，学生在原有的认知结构思维水平基础上发展他的联想思维，使新旧知识加以联结，找到证题方法，达到解决问题，建立起新的认知结构。

　　因此，我们在教学中，一定要把精力化在建立学生认知结构的工夫上，善始善终加以引导。少用或不用“S—R”这种“尝试错误”的机械方法，多用科学成功的尝试，引导学生认真寻求“中间变量”，努力使学生的新旧知识加以联结，促进学生的数学素养不断提高。